11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Πέμ Ιουν 18, 2009 12:50 am

Έστω ότι: \overline {0,{y_1}{y_2}{y_3}...} είναι το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός ρητού αριθμού κ/λ, όπου κ και λ φυσικοί αριθμοί με λ>0. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι:

\begin{array}{l} 
 {\sigma _1} = 10\frac{\kappa }{\lambda } - {y_1} \\  
 {\sigma _2} = {10^2}\frac{\kappa }{\lambda } - \overline {{y_1}{y_2}}  \\  
 ................................ \\  
 {\sigma _\nu } = {10^\nu }\frac{\kappa }{\lambda } - \overline {{y_1}{y_2}...{y_\nu }}  \\  
 ................................ \\  
 \end{array}

(Α.Κ. Κυριακόπουλου: «ΥΠΟΨΗΦΙΑΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΩΤΕΡΑ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ», έκδοση 1975, σελίδα 128, άσκηση 445)


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Άβαταρ μέλους
taratoris
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 7:11 pm

Re: 11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από taratoris » Πέμ Ιουν 18, 2009 1:42 pm

Συγγνώμη δεν ξέρω αν δεν κατάλαβα κάτι καλά αλλά π.χ στην περίπτωση που κ=1 λ= 8 δηλ. κ/λ=0,125 έχουμε τους αριθμούς 0,25 και 0,5. Μήπως εννοείτε οτι ο αριθμός είναι περιοδικός ή κάτι άλλο? Και πάλι συγγνώμη αν δεν έχω καταλάβει κάτι απο την εκφώνηση. :


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8182
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: 11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 18, 2009 1:53 pm

Etaratoris έγραψε:Συγγνώμη δεν ξέρω αν δεν κατάλαβα κάτι καλά αλλά π.χ στην περίπτωση που κ=1 λ= 8 δηλ. κ/λ=0,125 έχουμε τους αριθμούς 0,25 και 0,5. Μήπως εννοείτε οτι ο αριθμός είναι περιοδικός ή κάτι άλλο? Και πάλι συγγνώμη αν δεν έχω καταλάβει κάτι απο την εκφώνηση. :
Σε αυτή την περίπτωση έχουμε y_1 = 1,y_2=2,y_3=5, y_4 = y_5 = \cdots = 0 και άρα \sigma_3 = \sigma_4 = 0

(Πρέπει να ελεγχθεί και η περίπτωση 0.124999... που επίσης είναι δεκαδικό ανάπτυγμα του 1/8.)


papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: 11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Πέμ Ιουν 18, 2009 2:02 pm

Και νομιζω απο το δεκαδικο αναπτυγμα ισχυει λ>κ.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
taratoris
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 7:11 pm

Re: 11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από taratoris » Πέμ Ιουν 18, 2009 2:07 pm

Σωστά. Άρα αν ο αριθμός μας δεν είναι περιοδικός έχουμε τελειώσει. Σε διαφορετική περίπτωση, έστω οτι η περίοδος είναι μήκους ν τότε ο νιοστος και ο κ-νιοστος αριθμός είναι ίσοι.


papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: 11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Πέμ Ιουν 18, 2009 2:15 pm

Κανω μια σκεψη εαν το δεκαδικο αναπτυγμα ειναι το 0.999... με απειρους ορους και οπως καποιοι διαγωνιζομενοι
σε καποιο διαγωνισμο που ειχαν ερωτηθει οτι αν ισχυει οτι 0.999...=1 τοτε μηπως λ=>κ (μεγαλυτερο και ισο);


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11278
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: 11-Δεκαδικό ανάπτυγμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 18, 2009 3:19 pm

Etaratoris έγραψε:<...>
Καλωσορίζω στην Λέσχη μας τον Βαγγέλη Ταρατόρη.
Πρόκειται για πολύ δυνατό μαθητή με διακρίσεις στην ΕΜΕ και Καγκουρό.

Τρέχει στην οικογένεια, φαίνεται:

Βαγγέλη, τις επίσης δυνατές στα Μαθηματικά Χριστίνα Ταρατόρη (Α Γυμνασίου) και Ραλλού Ταρατόρη (Γ Γυμνασίου) τι τις έχεις;

Τιμή μας να σε έχουμε μέλος στην Λέσχη μας.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης