Μονότονη ακολουθία
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
Μονότονη ακολουθία
Να βρείτε τους ώστε η ακολουθία να είναι μονότονη
({.}=κλασματικό μέρος)
({.}=κλασματικό μέρος)
Σπύρος Καπελλίδης
-
- Δημοσιεύσεις: 35
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 24, 2011 5:48 pm
- Τοποθεσία: Thuwal, Σαουδική Αραβία
- Επικοινωνία:
Re: Μονότονη ακολουθία
Αν ο είναι ακέραιος, τότε για κάθε και συνεπώς η είναι μονότονη.
Επίσης παρατηρούμε ότι άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι και οι άλλες λύσεις θα προκύψουν προσθέτοντας όλους τους φυσικούς.
Θα εξετάσω πρώτα για .
Έχουμε
Από την παραπάνω μπορούμε να βγάλουμε τρία χρήσιμα (για τη συνέχεια) συμπεράσματα:
Σ1: Αν , τότε εκτός κι αν , οπότε .
Σ2: Αν , τότε . Πράγματι .
Σ3: H δεν είναι δυνατό να είναι αύξουσα.
Αν υποθέσουμε ότι η είναι αύξουσα, δεδομένου ότι είναι φραγμένη, τότε θα πρέπει να είναι και συγκλίνουσα. Ας είναι το όριό της. Έχουμε ή . Όμως παίρνοντας το όριο για , έχουμε ή , δηλαδή ή που είναι άτοπο από τη μοναδικότητα του ορίου. Άρα αν η είναι συγκλίνουσα, υπάρχει κάποιο τέτοιο, ώστε για κάθε να ισχύει είτε , είτε :
Παρατηρούμε τώρα ότι αν , δηλαδή με ισχύει
Η ακολουθία αυτή είναι φθίνουσα.
Ακόμα αν , δηλαδή με ισχύει
Η ακολουθία αυτή είναι επίσης φθίνουσα.
Θα δείξω τώρα ότι αν ο δεν έχει μία από τις παραπάνω δύο μορφές η δεν μπορεί να είναι φθίνουσα. Πιο συγκεκριμένα θα πάρω δύο περιπτώσεις, και .
Τώρα θα εξετάσουμε για αρνητικά ή καλύτερα ας θέσουμε με . Εύκολα αποδεικνύεται ότι . Τότε η . Όμως αυτή είναι η προηγούμενη περίπτωση μόνο που όπου έχουμε . Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η ακολουθία είναι φθίνουσα όταν
Συνοψίζοντας, η είναι μονότονη όταν
(ουφ)
Επίσης παρατηρούμε ότι άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι και οι άλλες λύσεις θα προκύψουν προσθέτοντας όλους τους φυσικούς.
Θα εξετάσω πρώτα για .
Έχουμε
Από την παραπάνω μπορούμε να βγάλουμε τρία χρήσιμα (για τη συνέχεια) συμπεράσματα:
Σ1: Αν , τότε εκτός κι αν , οπότε .
Σ2: Αν , τότε . Πράγματι .
Σ3: H δεν είναι δυνατό να είναι αύξουσα.
Αν υποθέσουμε ότι η είναι αύξουσα, δεδομένου ότι είναι φραγμένη, τότε θα πρέπει να είναι και συγκλίνουσα. Ας είναι το όριό της. Έχουμε ή . Όμως παίρνοντας το όριο για , έχουμε ή , δηλαδή ή που είναι άτοπο από τη μοναδικότητα του ορίου. Άρα αν η είναι συγκλίνουσα, υπάρχει κάποιο τέτοιο, ώστε για κάθε να ισχύει είτε , είτε :
- για κάθε , , δηλαδή . Όμως υποθέσαμε ότι η είναι αύξουσα άρα για κάθε , δηλαδή , το οποίο δεν ισχύει από την υπόθεση.
- για κάθε , ισχύει , δηλαδή . Όμως από το Σ2, τείνει στο από πάνω, δηλαδή στο . Άρα πάλι καταλήξαμε σε άτοπο.
Παρατηρούμε τώρα ότι αν , δηλαδή με ισχύει
Η ακολουθία αυτή είναι φθίνουσα.
Ακόμα αν , δηλαδή με ισχύει
Η ακολουθία αυτή είναι επίσης φθίνουσα.
Θα δείξω τώρα ότι αν ο δεν έχει μία από τις παραπάνω δύο μορφές η δεν μπορεί να είναι φθίνουσα. Πιο συγκεκριμένα θα πάρω δύο περιπτώσεις, και .
- .
Έστω ο , . Στη γενική περίπτωση
άρα
ή
Η τελευταία είναι της μορφής με τους , φυσικούς και . Έχουμε , άρα- δηλαδή ή .
- , δηλαδή ή
- .
Έστω ο , . Στη γενική περίπτωση
και με ακριβώς τον ίδιο τρόπο αποδεινύεται ότι άρα η δεν μπορεί να είναι φθίνουσα.
Τώρα θα εξετάσουμε για αρνητικά ή καλύτερα ας θέσουμε με . Εύκολα αποδεικνύεται ότι . Τότε η . Όμως αυτή είναι η προηγούμενη περίπτωση μόνο που όπου έχουμε . Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η ακολουθία είναι φθίνουσα όταν
- , δηλαδή όταν ή
- , δηλαδή όταν
Συνοψίζοντας, η είναι μονότονη όταν
- για κάθε και κάθε ή
- για κάθε και κάθε .
(ουφ)
Έχω βρει μία πραγματικά υπέροχη απόδειξη αλλά το quota μου σε αυτό το forum είναι πολύ μικρό για να τη χωρέσει.
Χρήστος Σαραγιώτης
Χρήστος Σαραγιώτης
Re: Μονότονη ακολουθία
Χρήστο σε ευχαριστώ.
Νομίζω πως μπορούμε με μεγαλύτερη ευκολία να καταλήξουμε στα συμπεράσματα σου αν εργαστούμε στο δυαδικό
σύστημα αρίθμησης.
Κατ'αρχάς είναι προφανές πως αν , τότε η είναι σταθερή.
Αν , τότε με είναι η απειροψήφια
δυαδική μορφή του , άρα
Για να είναι η αύξουσα πρέπει και αρκεί για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων με να αληθεύει
η
Όταν όμως είναι και έχουμε ,
άρα η δεν είναι αύξουσα.
Συνεπώς ικανή και αναγκαἰα συνθήκη για να είναι η αύξουσα είναι να υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
Με την ίδια λογική ικανή και αναγκαἰα συνθήκη για να είναι η φθίνουσα είναι να υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
Κατ'αρχάς ευχαριστώ τον Χρήστο για την υπόδειξη κάποιων τυπογραφικών σφαλμάτων και μετά να πω ότι
μπορούμε να τα δυσκολέψουμε λίγο αν θέταμε το ίδιο ερώτημα για ἠ
Νομίζω πως μπορούμε με μεγαλύτερη ευκολία να καταλήξουμε στα συμπεράσματα σου αν εργαστούμε στο δυαδικό
σύστημα αρίθμησης.
Κατ'αρχάς είναι προφανές πως αν , τότε η είναι σταθερή.
Αν , τότε με είναι η απειροψήφια
δυαδική μορφή του , άρα
Για να είναι η αύξουσα πρέπει και αρκεί για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων με να αληθεύει
η
Όταν όμως είναι και έχουμε ,
άρα η δεν είναι αύξουσα.
Συνεπώς ικανή και αναγκαἰα συνθήκη για να είναι η αύξουσα είναι να υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
Με την ίδια λογική ικανή και αναγκαἰα συνθήκη για να είναι η φθίνουσα είναι να υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
Κατ'αρχάς ευχαριστώ τον Χρήστο για την υπόδειξη κάποιων τυπογραφικών σφαλμάτων και μετά να πω ότι
μπορούμε να τα δυσκολέψουμε λίγο αν θέταμε το ίδιο ερώτημα για ἠ
τελευταία επεξεργασία από s.kap σε Τρί Μάιος 10, 2011 11:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Σπύρος Καπελλίδης
-
- Δημοσιεύσεις: 35
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 24, 2011 5:48 pm
- Τοποθεσία: Thuwal, Σαουδική Αραβία
- Επικοινωνία:
Re: Μονότονη ακολουθία
Πολύ ωραία λύση, Σπύρο.
Ήμουν σίγουρος ότι υπήρχε πιο κομψός τρόπος αλλά δεν άντεχα να ασχοληθώ άλλο με τη συγκεκριμένη άσκηση. Είχα αρχίσει να
Ήμουν σίγουρος ότι υπήρχε πιο κομψός τρόπος αλλά δεν άντεχα να ασχοληθώ άλλο με τη συγκεκριμένη άσκηση. Είχα αρχίσει να
Έχω βρει μία πραγματικά υπέροχη απόδειξη αλλά το quota μου σε αυτό το forum είναι πολύ μικρό για να τη χωρέσει.
Χρήστος Σαραγιώτης
Χρήστος Σαραγιώτης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης