H εξίσωση του Ολου

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

H εξίσωση του Ολου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Σάβ Μαρ 26, 2011 9:13 pm

Η παρακάτω προέκυψε απο την προσπάθεια να τα συνδυάσουμε όλα :

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

\displaystyle{\left[ x \right] \cdot \left\{ x \right\} = x \cdot \left| x \right|}

[]= ακέραιο μέρος
{}= κλασματικό μέρος
\displaystyle{\left| {} \right|} = απόλυτη τιμή


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: H εξίσωση του Ολου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Μαρ 26, 2011 10:20 pm

nonlinear έγραψε:Η παρακάτω προέκυψε απο την προσπάθεια να τα συνδυάσουμε όλα :

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

\displaystyle{\left[ x \right] \cdot \left\{ x \right\} = x \cdot \left| x \right|}

[]= ακέραιο μέρος
{}= κλασματικό μέρος
\displaystyle{\left| {} \right|} = απόλυτη τιμή
Αν x \ge 0, τότε η εξίσωση γράφεται [x]\{x\}=x^2 \Leftrightarrow [x]\{x\}=([x]+\{x\})^2

\Leftrightarrow [x]^2+[x]\{x\}+\{x\}^2=0

Αν \{x\}\neq 0, τότε η εξίσωση γράφεται t^2+t+1=0, όπου t=\frac {[x]}{\{x\}}, η οποία είναι αδύνατη.

Ομοίως καταλήγουμε σε αδύνατη εξίσωση αν υποθέσουμε ότι [x]\neq 0

Συνεπώς [x]=\{x\}=0 \Rightarrow x=0

Έστω τώρα x<0, οπότε η εξίσωση γράφεται [x]\{x\}=-x^2 \Leftrightarrow [x]\{x\}=-([x]+\{x\})^2

\Leftrightarrow [x]^2+3[x]\{x\}+\{x\}^2=0. Επειδή [x]<0

η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα w^2+3w+1=0, όπου w=\frac {\{x\}}{[x]}

w=\frac {-3+\sqrt{5}}{2} \vee w= \frac {-3-\sqrt{5}}{2}

Επειδή |w|<1 δεκτή είναι η λύση w=\frac {-3+\sqrt{5}}{2}

Άρα \{x\}=[x]\frac {-3+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow 0 \le [x]\frac {-3+\sqrt{5}}{2}<1

\Rightarrow \frac {2}{\sqrt{5}-3}<[x]<0 \Rightarrow [x]=-1 \vee [x]=-2 \vee [x]=-3

Στην πρώτη περίπτωση x=-1+\frac {3-\sqrt{5}}{2}. στη δεύτερη x=-2+3-\sqrt{5}=1-\sqrt{5}

και στην τρίτη έχουμε \{x\}=\frac {3}{2}\cdot (3-\sqrt{5})>1, η οποία απορρίπτεται

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος σε πράξεις


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης