Ύπαρξη ακεραίων 2

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Ύπαρξη ακεραίων 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Κυρ Νοέμ 28, 2010 9:59 pm

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικοί ακέραιοι a,b , c ώστε : ab(a + b) = c^3


Η.Γ
userresu
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 2:07 pm

Re: Ύπαρξη ακεραίων 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από userresu » Κυρ Νοέμ 28, 2010 11:23 pm

Για a,b,c>0:
c={p_1}^{a_1}...{p_n}^{a_n}, όπου p1,...,pn πρώτοι, άρα και c^3={p_1}^{3a_1}...{p_n}^{3a_n}

1) Αν (a,b)=1, τότε και (a+b,a)=(b,a)=1 και (a+b,b)=(a,b)=1, άρα οι a,b,a+b είναι μεταξύ τους πρώτοι.
Συνεπώς λόγω της δοθείσας εξίσωσης είναι της μορφής:
a={p_{a_1}}^{3a_1}...{p_{a_n}}^{3a_n}=x^3

b={p_{b_1}}^{3a_1}...{p_{b_n}}^{3a_n}=y^3

a+b={p_{c_1}}^{3a_1}...{p_{c_n}}^{3a_n}=z^3

Άρα πρέπει x^3+y^3=z^3, το οποίο δεν έχει λύσεις στους θετικούς ακεραίους (Μεγάλο θεώρημα του Fermat).
2) Αν (a,b)=d>1, τότε a=md,b=nd και (m,n)=1
Τότε η εξίσωση γίνεται
mdnd(md+nd)=c^3 \Leftrightarrow d^3 mn(m+n)=c^3
Για να έχει λύσεις, το d πρέπει να διαιρεί το c. Τότε όμως η εξίσωση γίνεται mn(m+n)=(\frac{c}{d})^3, η οποία ανάγεται στην περίπτωση (1), αφού (m,n)=1 και συνεπώς δεν έχει λύσεις.

Για a,b,c<0 βάζω p=-a,q=-b,r=-c και καταλήγω στην αρχική, άρα δεν έχουμε λύσεις.
Για a,b>0, c<0 τα δύο μέλη είναι ετερόσημα άρα δεν έχουμε λύσεις.
Για a,b<0,c>0 τα δύο μέλη είναι ετερόσημα άρα δεν έχουμε λύσεις.
Για a,b ετερόσημους (χωρίς βλάβη της γενικότητας a>0,b<0):
i) Αν c>0, τότε για q=-b>0 η εξίσωση γίντεαι
-aq(a-q)=c^3 \Leftrightarrow qa(q-a)=c^3
Όμοια με την περίπτωση a,b,c>0, καταλήγουμε στην x^3-y^3=z^3 \Leftrightarrow y^3+z^3=x^3, η οποία δεν έχει λύσεις.
ii) Αν c<0, τότε για q=-b>0 και r=-c>0 η εξίσωση γίνεται
-aq(a-q)=-r^3 \Leftrightarrow aq(a-q)=r^3 και ομοίως καταλήγουμε ότι δεν έχει λύσεις.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη ακεραίων 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 15, 2020 5:24 pm

irakleios έγραψε:
Κυρ Νοέμ 28, 2010 9:59 pm
Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικοί ακέραιοι a,b , c ώστε : ab(a + b) = c^3
Λίγο πιο σύντομα:

Μπορούμε να υποθέσουμε (a,b,c)=1. Εύκολα έχουμε (a,b)=1 οπότε και (ab,a+b)=1.
Επομένως, ab=k^3 και a+b=z^3. Από την πρώτη είναι, συνεπώς, a=x^3 και b=y^3.
Τελικά, x^3+y^3=z^3, αδύνατο από Μεγάλο Θεώρημα του Fermat.

(Για n=3 η εικασία αποδείχθηκε ήδη από το 1760. Δείτε π.χ. εδώ και εδώ)


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες