Πλεονεξία

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9807
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πλεονεξία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 29, 2016 1:57 pm

Πλεονεξία.png
Πλεονεξία.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές
Σημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R .Φέρω την ημιευθεία BS και ( πώς ; )

την εφαπτομένη QP του τόξου την κάθετη στην BS . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν

του τριγώνου PQB . Πόσο είναι τότε το μήκος της πλευράς BP ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλεονεξία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 29, 2016 6:55 pm

KARKAR έγραψε:Πλεονεξία.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R .Φέρω την ημιευθεία BS και ( πώς ; )

την εφαπτομένη QP του τόξου την κάθετη στην BS . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν

του τριγώνου PQB . Πόσο είναι τότε το μήκος της πλευράς BP ;
Πλεονεξία.png
Πλεονεξία.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές
Από το μέσο Q του τόξου AS φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου που τέμνει την BS στο P και ολοκληρώνεται η κατασκευή. Αν E είναι η προβολή

του Q στην AB, τότε τα τρίγωνα PQB, EQB είναι ίσα και το πρόβλημα ανάγεται στο να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου EQB.

\displaystyle{(PQB) = (EQB) = \frac{1}{2}hx = \frac{1}{2}x\sqrt {x(2R - x)} } που παρουσιάζει μέγιστο στο \boxed{{x_0} =BP= \frac{{3R}}{2}} ίσο με \boxed{{(PQB)_{\max }} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{8}}

Μερικές συμπληρωματικές πληροφορίες: Σε αυτή τη θέση είναι:
1) \displaystyle{\omega  = {30^0}}
2) QS||AB
3) AQ=QS=SB=R
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Σεπ 29, 2016 7:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 710
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Πλεονεξία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Πέμ Σεπ 29, 2016 6:58 pm

Για τον προσδιορισμό του Q και του S φέρω παράλληλη από το κέντρο O του ημικυκλίου προς την BS και από την τομή της Q με το ημικύκλιο φέρω κάθετο QP στη BS.

Τώρα για το μέγιστο, αν παρατηρήσουμε ότι η προβολή T του Q στην AB είναι το συμμετρικό του P ως προς QB,

το πρόβλημα μετατίθεται στο να βρούμε το μέγιστο εμβαδόν του (QTB)=(PQB) που εύκολα προκύπτει για \hat{TQB}=30^o με TB=BP=3R/2

Γειά σου Γιώργο, βρεθήκαμε σε παράλληλα σύμπαντα!


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλεονεξία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 29, 2016 7:04 pm

sakis1963 έγραψε:Για τον προσδιορισμό του Q και του S φέρω παράλληλη από το κέντρο O του ημικυκλίου προς την BS και από την τομή της Q με το ημικύκλιο φέρω κάθετο QP στη BS.

Τώρα για το μέγιστο, αν παρατηρήσουμε ότι η προβολή T του Q στην AB είναι το συμμετρικό του P ως προς QB,

το πρόβλημα μετατίθεται στο να βρούμε το μέγιστο εμβαδόν του (QTB)=(PQB) που εύκολα προκύπτει για \hat{TQB}=30^o με TB=BP=3R/2

Γειά σου Γιώργο, βρεθήκαμε σε παράλληλα σύμπαντα!
Γεια σου Σάκη!

Πλήρης ταύτιση!


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Πλεονεξία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Πέμ Σεπ 29, 2016 8:10 pm

KARKAR έγραψε:Πλεονεξία.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R .Φέρω την ημιευθεία BS και ( πώς ; )

την εφαπτομένη QP του τόξου την κάθετη στην BS . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν

του τριγώνου PQB . Πόσο είναι τότε το μήκος της πλευράς BP ;
Χαιρετώ τους αγαπητούς φίλους!
Πλεονεξία.png
Πλεονεξία.png (35.54 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές
(PQB)=\dfrac{1}{2}(PQLB) και επειδή \triangle PQS=\triangle BLQ' \Rightarrow (PQB)=\dfrac{1}{2}(SQQ'B)= \dfrac{1}{4}(SQS'B'Q'B) άρα το (PQB) γίνεται μέγιστο όταν το (SQS'B'Q'B) γίνει μέγιστο, δηλαδή όταν είναι κανονικό εξάγωνο, οπότε QS=SB=R, BP=\dfrac{3R}{2} και (SQS'B'Q'B)_{max} =\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{2}\Rightarrow (PQB)_{max}=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{8}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες