Στην ίδια στράτα!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Στην ίδια στράτα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Σεπ 22, 2016 10:53 pm

idia-strata.png
idia-strata.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές
Έστω E,F τα εφαπτόμενα σημεία του εγγεγραμένου κύκλου του τριγώνου ABC.

Έστω κύκλος που περνάει από το A και το έκκεντρο I και τέμνει τις πλευρές AB,AC στα Y,X.

Να δείξετε ότι το μέσο M του XY, και τα E,F είναι συνευθειακά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 720
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Στην ίδια στράτα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Σεπ 22, 2016 11:48 pm

Φέρνουμε τα MI, MF, YI, ME και IX.

Η AI είναι διχοτόμος της \widehat{BAC}, άρα το τόξο YI είναι ίσο με το τόξο IX. Επειδή το M είναι μέσο του YX, άρα το IM \perp YX (1).

Από τις εφαπτομένες έχουμε επίσης ότι YF \perp FI (2) και EX \perp EI (3).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το FYMI είναι εγγεγραμμένο. Άρα \widehat{IMF}=\widehat{IYF}. Από το εγγεγραμμένο AYIX έχουμε \widehat{IYF}=\widehat{IXA}. Άρα \widehat{IXE}=\widehat{IXA}=\widehat{IMF} (4).

Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι το EMIX είναι εγγεγραμμένο. Άρα \widehat{IXE}=180-\widehat{IME} και από την (4) προκύπτει ότι \widehat{IMF}=180-\widehat{IME} και συνεπώς τα M, E και F είναι συνευθειακά.

edit: προστέθηκε το σχήμα.
Συνημμένα
Στην ίδια στράτα!.png
Στην ίδια στράτα!.png (52.12 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Παρ Σεπ 23, 2016 2:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Στην ίδια στράτα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 23, 2016 12:53 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:idia-strata.png

Έστω E,F τα εφαπτόμενα σημεία του εγγεγραμένου κύκλου του τριγώνου ABC.

Έστω κύκλος που περνάει από το A και το έκκεντρο I και τέμνει τις πλευρές AB,AC στα Y,X.

Να δείξετε ότι το μέσο M του XY, και τα E,F είναι συνευθειακά.
ϊδια στράτα.png
ϊδια στράτα.png (33.25 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές
Επειδή η AI διχοτομεί την εγγεγραμμένη στον κύκλο (A,Y,X) γωνία, \widehat {YAX} θα είναι IX = IY και άρα IM \bot XY.

Τα F,M,E ανήκουν επομένως στην ευθεία Simson του τριγώνου: \vartriangle AYX που αντιστοιχεί στο σημείο I.

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Στην ίδια στράτα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Σεπ 23, 2016 7:06 am

Καλημέρα Διονύση! :clap2:

Καλημέρα κύριε Νίκο! Πάλι ζωγραφίσατε ... :notworthy:


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1667
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Στην ίδια στράτα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Σεπ 23, 2016 11:35 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:idia-strata.png

Έστω E,F τα εφαπτόμενα σημεία του εγγεγραμένου κύκλου του τριγώνου ABC.

Έστω κύκλος που περνάει από το A και το έκκεντρο I και τέμνει τις πλευρές AB,AC στα Y,X.

Να δείξετε ότι το μέσο M του XY, και τα E,F είναι συνευθειακά.

Καλημέρα σε όλους

Στο τρίγωνο AYX με τέμνουσα FME από το αντίστροφο του Θ.Μενελάου \dfrac{XM}{MY}\dfrac{FY}{FA}\dfrac{AE}{EX}=1,(1) (Θα αποδειχθεί )

Δηλαδή αρκεί να αποδειχθεί ότι EX=FY

Tα ορθογώνια τρίγωνα EIX,FYI είναι ίσα γιατί :
FI=IE=\rho ,\hat{IFY}=\hat{IEX}=90^{0},\hat{FYI}=\hat{AXI}
H τελευταία ισότητα ισχύει από το εγγεγραμένο τετράπλευρο AXIY


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης