Παρά-λογος

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9711
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παρά-λογος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 20, 2016 10:21 pm

Παρά-λογος.png
Παρά-λογος.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές
Προεκτείνουμε την κάθετη πλευρά AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα CS=CB .

Πάνω στο CS παίρνουμε σημείο P , ώστε : \widehat{SBP}=\widehat{CBA} . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AC}{PS}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1648
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Παρά-λογος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Σεπ 20, 2016 11:26 pm


KARKAR έγραψε:Παρά-λογος.pngΠροεκτείνουμε την κάθετη πλευρά AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα CS=CB .

Πάνω στο CS παίρνουμε σημείο P , ώστε : \widehat{SBP}=\widehat{CBA} . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AC}{PS}
Εστω ότι CM\perp SB
Tο τετράπλευρο ACMB είναι εγγράψιμο γιατί \hat{A}=\hat{M}=90^{0}
συνεπώς \hat{CMA}=\hat{CBA}=\omega ,\hat{CAM}=\hat{CBM}=\hat{CSB}=\phi
Από τα όμοια τρίγωνα PSB,CMA,\dfrac{PS}{AC}=\dfrac{SB}{AM}=\dfrac{PB}{CM}\Rightarrow \dfrac{PS}{AC}=2\Leftrightarrow \dfrac{AC}{PS}=\dfrac{1}{2}


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1287
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Παρά-λογος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Σεπ 21, 2016 12:21 am

Logos.png
Logos.png (27.67 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές
Από νόμο ημιτόνων στο SPB θα πάρουμε SP=\dfrac{\cos 2\varphi     {\cdot}  SB}{\cos \varphi}.

Από νόμο ημιτόνων στο SCB είναι \dfrac{BC}{\sin \varphi}=\dfrac{SB}{\sin 2\varphi} (1).

Ακόμη, \cos 2\varphi=\dfrac{AC}{BC} \Leftrightarrow BC=\dfrac{AC}{\cos 2\varphi} (2).

Από (1),(2), AC=\dfrac{\cos 2\varphi \sin \varphi \cdot SB}{\sin 2\varphi}.

Άρα, \dfrac{AC}{PS}=\dfrac{\dfrac{\cos 2\varphi \sin \varphi \cdot SB}{\sin 2\varphi}}{\dfrac{\cos 2\varphi     {\cdot}  SB}{\cos \varphi}}=\dfrac{\sin \varphi \cos \varphi}{\sin 2\varphi}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{AC}{PS}=\dfrac{1}{2}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5786
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παρά-λογος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 21, 2016 9:52 am

KARKAR έγραψε:Παρά-λογος.pngΠροεκτείνουμε την κάθετη πλευρά AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα CS=CB .

Πάνω στο CS παίρνουμε σημείο P , ώστε : \widehat{SBP}=\widehat{CBA} . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AC}{PS}
Καλημέρα σας .

Για λόγους πλουραλισμού , μια λύση αμιγώς γεωμετρική με ύλη Α΄Λυκείου
Παρα_λογος.png
Παρα_λογος.png (21.49 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές
Με δεδομένο το ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC για να προκύψει το σημείο S, γράφουμε τον κύκλο (C,CB).

Έστω D,E,T τα επί πλέον σημεία τομής των BA,BC,BP με τον κύκλο αυτό .

Επειδή το \vartriangle SPT έχει τις γωνίες του στα P,T συμπληρώματα της γωνίας (\widehat \omega  + \widehat \theta ) = \widehat {PBA} = \widehat {SBC} θα είναι ισοσκελές με κορυφή το S.

Όμως ST = DE ως χορδές ίσων τόξων και αφού SP//ED ( κάθετες στην AD)

αναγκαστικά το τετράπλευρο PSED είναι παραλληλόγραμμο.

Τώρα : \boxed{AC// = \frac{{DE}}{2}// = \frac{{PS}}{2} \Rightarrow \frac{{AC}}{{PS}} = \frac{1}{2}}.

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3104
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Παρά-λογος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Σεπ 21, 2016 10:35 am

KARKAR έγραψε:Προεκτείνουμε την κάθετη πλευρά AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα CS=CB .

Πάνω στο CS παίρνουμε σημείο P , ώστε : \widehat{SBP}=\widehat{CBA} . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AC}{PS}
Καλημέρα σας.
Παρά-λογος.png
Παρά-λογος.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές
Αν D το συμμετρικό του C ως προς A, τότε DP = (DB = BC) = CS \Leftrightarrow 2x = y


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5786
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παρά-λογος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 21, 2016 11:43 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
KARKAR έγραψε:Προεκτείνουμε την κάθετη πλευρά AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα CS=CB .

Πάνω στο CS παίρνουμε σημείο P , ώστε : \widehat{SBP}=\widehat{CBA} . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AC}{PS}
Καλημέρα σας.Παρά-λογος.png
Αν D το συμμετρικό του C ως προς A, τότε DP = (DB = BC) = CS \Leftrightarrow 2x = y

Απλή, στοιχειώδης , :clap2:

Φιλικά Νίκος


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παρά-λογος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Σεπ 21, 2016 1:53 pm

Ισχύει ,\displaystyle{\frac{{CA}}{{PS}} = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {SPB} \right)}}(1)}

Με \displaystyle{CB = CQ \Rightarrow \angle QSB = {90^0}} κι επειδή

\displaystyle{\angle PBA = \angle SBQ \Rightarrow \vartriangle SQB \simeq \vartriangle PBA \Rightarrow \frac{{QB}}{{PB}} = \frac{{SB}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{2CB}}{{PB}} = \frac{{SB}}{{AB}}\displaystyle{\displaystyle{ \Leftrightarrow 2CB \cdot AB \cdot \sin \theta = PB \cdot SB \cdot \sin \theta }}\displaystyle{ \Rightarrow 2(ABC) = \left( {SPB} \right)}

Τώρα από την \displaystyle{(1)} παίρνουμε \displaystyle{\boxed{\frac{{CA}}{{PS}} = \frac{1}{2}}}
para-logos.png
para-logos.png (10.57 KiB) Προβλήθηκε 956 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3104
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Παρά-λογος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Σεπ 21, 2016 9:36 pm

Doloros έγραψε:
Απλή, στοιχειώδης , :clap2:

Φιλικά Νίκος
Νίκο σ’ ευχαριστώ. Ακόμα μία…
Παρά-λογος_2.png
Παρά-λογος_2.png (40.81 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές
Οι διακεκομμένες παράλληλες από τα C,S,B προς τις AB,PB,AS αντίστοιχα, δημιουργούν το εγγράψιμο SDBC, το παραλληλόγραμμο SEBP και το ορθογώνιο CMBA.

Στο \triangleleft DEB η DM είναι ύψος και διχοτόμος, άρα y = 2x


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης