Ορθές με κοινή κορυφή

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6958
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ορθές με κοινή κορυφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 29, 2016 11:45 pm

Ορθές με κοινή κορυφή.png
Ορθές με κοινή κορυφή.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 1867 φορές
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC, H το ορθόκεντρο, O το περίκεντρο και E το συμμετρικό του B ως προς D.

Αν η HE τέμνει την ευθεία AC στο F, να δείξετε ότι \widehat{ODF}=90^0


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 30, 2016 1:05 pm

george visvikis έγραψε:AD είναι το ύψος τριγώνου ABC, H το ορθόκεντρο, O το περίκεντρο και E το συμμετρικό του B ως προς D. Αν η HE τέμνει την ευθεία AC στο F, να δείξετε ότι \widehat{ODF}=90^0
Ωραίο Θέμα Γιώργο!!!. Θα μπορούσε να είναι και στο φάκελο Α' Λυκείου ;) . Αργά το βραδάκι μετά τη Βρυξελλιώτικη Βόλτα και αν τη γλυτώσουμε από τους ΤΣΙΧΑΝΤΙΣΤΕΣ :shock: και τη γλυτώσει και η άσκηση από τους "ΓΕΩΜΕΤΡΟΤΣΙΧΑΝΤΙΣΤΕΣ" :lol: τα ξαναλέμε.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 30, 2016 10:21 pm

george visvikis έγραψε:AD είναι το ύψος τριγώνου ABC, H το ορθόκεντρο, O το περίκεντρο και E το συμμετρικό του B ως προς D. Αν η HE τέμνει την ευθεία AC στο F, να δείξετε ότι \widehat{ODF}=90^0
Ας είναι S\equiv PQ\cap HF , με P το αντιδιαμετρικό του B ως προς τον περίκυκλο \left( O \right) του τριγώνου \vartriangle ABC και Q\equiv AD\cap \left( O \right),Q\ne AΤότε είναι γνωστό (*) ότι Q το συμμετρικό του ορθοκέντρου H του τριγώνου \vartriangle ABC ως προς την BC ,
[attachment=0]1.png[/attachment]
(*)
\angle CBQ\overset{A,B,Q,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle QAC\overset{\Kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \nu \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon }{\mathop{=}}\displaystyle{\angle HBC\Rightarrow \vartriangle HBQ ισοσκελές (BD  ύψος και διχοτόμος) άρα και διάμεσος</em></span></div></div></div><span style="color: #0000BF"><em class="text-italics"> 
και με E το συμμετρικό του B ως προς το D προκύπτει ότι BHEQ ρόμβος (οι διαγώνιές του διχοτομούνται κάθετα) και άρα  
 
HF\parallel BQ\overset{PQ\bot BQ\left( BP\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right) \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,:\left( 1 \right) και QE\parallel BH\overset{PH\bot AF\left( H\,\,o\rho \theta o\kappa \varepsilon \nu \tau \rho o\,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle ABC \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,:\left( 2 \right),T\equiv QE\cap AF. Από \left( 1 \right),\left( 2 \right) προκύπτουν  
 
τα εγγράψιμα τετράπλευρα SECP\left( \angle PSE=\angle PCE={{90}^{0}} \right),SQFT\left( \angle QSF=\angle QTF={{90}^{0}} \right),QDSE\left( \angle QDE=\angle QSE={{90}^{0}} \right). 
 
Έτσι έχουμε: \angle SFC\equiv \angle SFT\overset{S,Q,F,T\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle TQS\equiv \angle EQS\overset{D,Q,E,S\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}}\,\angle EDS\equiv \angle CDS\Rightarrow D,S,T,F ομοκυκλικά, οπότε

\angle SFD=\angle SCD\equiv \angle SCE\overset{P,S,E,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle SPE\equiv \angle SPL\left( L\equiv PE\cap DF \right)\Rightarrow P,S,L,F ομοκυκλικά , άρα

\angle PLF=\angle PSF={{90}^{0}}\Rightarrow PE\bot DF\overset{PE\parallel OD\,\,(D,O\,\,\tau \alpha \,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \omega \nu \,\,BP,BE\,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle BPE)}{\mathop{\Rightarrow }}\, OD\bot DF και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης
Συνημμένα
1.png
1.png (56.04 KiB) Προβλήθηκε 1701 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
papakost
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Απρ 12, 2016 8:44 pm

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papakost » Τρί Απρ 12, 2016 9:13 pm

Γειά σας κι από εμένα....άργησα λίγο αλλα το αποτέλεσμα μετρά εε.. :D :D
λοιπόν αρχίζουμε... :geek: :geek:
Για αρχή ενώνουμε το σημείο Ο με το F έτσι έχει φτιαχτεί ένα τρισευτυχισμένο τριγωνάκι
τώρα παίρνουμε τις μεσοκαθέτους από κάθε πλευρά με αποτέλεσμα να βρούμε το περίκεντρο (Z) τωρα με κέντρο το Ζ φτιάχνουμε έναν κύκλο με ακτίνα ZO και έτσι φτιάξαμε ένα νέο εγγεγραμένο τρίγωνο και από ότι βλέπουμε η γωνία ODF είναι εγγεγραμένη σε ημικύκλιο άρα είναι 90 μοίρες άρα και κάθετη και τέλος.... :coolspeak: :clap: :first: :lol: :lol:
ΚΩΣΤΑΣ[/code]


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Απρ 12, 2016 10:28 pm

papakost έγραψε:Γειά σας κι από εμένα....άργησα λίγο αλλα το αποτέλεσμα μετρά εε.. :D :D
λοιπόν αρχίζουμε... :geek: :geek:
Για αρχή ενώνουμε το σημείο Ο με το F έτσι έχει φτιαχτεί ένα τρισευτυχισμένο τριγωνάκι
τώρα παίρνουμε τις μεσοκαθέτους από κάθε πλευρά με αποτέλεσμα να βρούμε το περίκεντρο (Z) τωρα με κέντρο το Ζ φτιάχνουμε έναν κύκλο με ακτίνα ZO και έτσι φτιάξαμε ένα νέο εγγεγραμένο τρίγωνο και από ότι βλέπουμε η γωνία ODF είναι εγγεγραμένη σε ημικύκλιο άρα είναι 90 μοίρες άρα και κάθετη και τέλος.... :coolspeak: :clap: :first: :lol: :lol:
ΚΩΣΤΑΣ[/code]
Καλωσόρισες στο :logo:

Δεν πίστευα ότι ήταν τόσο "απλή" αυτή η άσκηση!!!. :shock:

Διδάσκω αεί διδασκόμενος!!!

Αλλά γιατί τόσα χειροκροτήματα άραγε ; Νομίζω ότι έφτανε το :first:

Μου άρεσε η έκφραση "τρισευτυχισμένο τριγωνάκι"


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
papakost
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Απρ 12, 2016 8:44 pm

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papakost » Τρί Απρ 12, 2016 11:17 pm

Ήταν η πρώτη μου φορά και χάρηκα ιδιαιτέρως αφου άκουσα τα καλητερα απο το καλητερο!!! :D :D


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Απρ 12, 2016 11:21 pm

papakost έγραψε:Ήταν η πρώτη μου φορά και χάρηκα ιδιαιτέρως αφου άκουσα τα καλητερα απο το καλητερο!!! :D :D
Φαίνεται ότι τα προσόντα σου είναι εξίσου μεγάλα τόσο στη Γεωμετρία όσο και στην ορθογραφία!!!. :coolspeak:

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
papakost
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Απρ 12, 2016 8:44 pm

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papakost » Τρί Απρ 12, 2016 11:39 pm

Από την μεγάλη χαρά της επιτυχίας μου στην απογοήτευση της ορθογραφίας μου....δεν πειραζει "μικρός" ειμαι ακόμα θα μάθω .... :D :roll:


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1069
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Σάβ Σεπ 17, 2016 10:12 am

papakost έγραψε:Γειά σας κι από εμένα....άργησα λίγο αλλα το αποτέλεσμα μετρά εε.. :D :D
λοιπόν αρχίζουμε... :geek: :geek:
Για αρχή ενώνουμε το σημείο Ο με το F έτσι έχει φτιαχτεί ένα τρισευτυχισμένο τριγωνάκι
τώρα παίρνουμε τις μεσοκαθέτους από κάθε πλευρά με αποτέλεσμα να βρούμε το περίκεντρο (Z) τωρα με κέντρο το Ζ φτιάχνουμε έναν κύκλο με ακτίνα ZO και έτσι φτιάξαμε ένα νέο εγγεγραμένο τρίγωνο και από ότι βλέπουμε η γωνία ODF είναι εγγεγραμένη σε ημικύκλιο άρα είναι 90 μοίρες άρα και κάθετη και τέλος.... :coolspeak: :clap: :first: :lol: :lol:
ΚΩΣΤΑΣ[/code]
Με αρκετή ομολογουμένως καθυστέρηση, καθώς έχω χάσει συνέχειες, καλώς ήρθες Κώστα!
Δεν βλέπω γιατί ο κύκλος (Z,ZO) έχει διάμετρο OF. Το Z αν κατάλαβα καλά είναι το περίκεντρο του ODF. Εκτός αν χάνω κάτι.


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1981
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Σεπ 17, 2016 2:54 pm

Γεια σου Ανδρέα, χαθήκαμε.

Για την απορία σου, δες σε δεύτερη ανάγνωση την απάντηση του Στάθη, στην 7η δημοσίευση πιο πάνω.

Κώστας Βήττας.


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1069
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Σάβ Σεπ 17, 2016 7:19 pm

Γειά σου Κώστα!
Μου λείψατε η αλήθεια είναι, αλλά να που τα ξαναλέμε,
Προς στιγμή νόμιζα ότι ήταν κάποια πραγματική τόσο απλή λύση και "ψάρωσα". Αυτά παθαίνει όποιος κάνει πολλές απουσίες.
Θα καταθέσω αργότερα τη δική μου λύση, γιατί η αλήθεια είναι ότι με παίδεψε.


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1181
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Σεπ 18, 2016 12:57 am

Μια ω-ραί- α πεταλούδα!!! :)
Έστω ότι η AH τέμνει τον κύκλο στο K. Τότε HEKB παρ/μο επομένως η KB τέμνει την FD στο συμμετρικό του F ως προς το D, έστω X, δηλαδή XD=DF. Από το θεώρημα της πεταλούδας στο μη-κυρτό KACB έχουμε ότι OD\perp XF


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ορθές με κοινή κορυφή

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Σεπ 18, 2016 10:10 am

silouan έγραψε:Μια ω-ραί- α :clap2: :clap2: πεταλούδα!!! :)
Έστω ότι η AH τέμνει τον κύκλο στο K. Τότε HEKB παρ/μο επομένως η KB τέμνει την FD στο συμμετρικό του F ως προς το D, έστω X, δηλαδή XD=DF. Από το θεώρημα της πεταλούδας στο μη-κυρτό KACB έχουμε ότι OD\perp XF
:clap2:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης