Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Νοέμ 05, 2014 2:44 am

Δίνεται τρίγωνο ABC και AM διάμεσός του. Έστω I_B το έγκεντρο του τριγώνου ABM και J_B το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του, εφαπτόμενου στην AB.Ομοίως
I_C το έγκεντρο του τριγώνου ACM και J_C το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του, εφαπτόμενου στην AC. Να αποδείξετε ότι τα σημεία I_B, I_C, J_B, J_C είναι ομοκυκλικά.
omokuklika_egkentra_parakentra.PNG
omokuklika_egkentra_parakentra.PNG (21.35 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Οκτ 03, 2016 4:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Τετ Νοέμ 05, 2014 12:27 pm

Καλημέρα κύριε Κουτσουρίδη.Πολύ ωραία άσκηση.

Λήμμα: Σε τρίγωνο \displaystyle{ABC} η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{\hat{C}} και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{\hat{B}} σχηματίζουν γωνία \displaystyle{\frac{\hat{A}}{2}}.

Απόδειξη: Είναι \displaystyle{\hat{BDC}=180-\hat{DBC}-\hat{DCB}=180-\left(\hat{B}+90-\frac{\hat{B}}{2}}\right)-\frac{\hat{C}}{2}=90-\frac{\hat{B}}{2}-\frac{\hat{C}}{2}=\frac{\hat{A}}{2}}.
Γεωμετρια mathematica_99(1).PNG
Γεωμετρια mathematica_99(1).PNG (5.61 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές
\rule{420pt}{1pt}
Γεωμετρια mathematica_99(2).PNG
Γεωμετρια mathematica_99(2).PNG (21.36 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές
Πίσω στο πρόβλημά μας τώρα,σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα θα ισχύει \displaystyle{\hat{BJ_{B}I_{B}}=\frac{\hat{BAM}}{2}=\hat{BAI_{B}} επομένως το τετράπλευρο \displaystyle{AI_{B}BJ_{B}} είναι εγγράψιμο.

Έστω \displaystyle{E} το κοινό σημείο του περιγγεγραμμένου του κύκλου με την \displaystyle{BC}.

Το θεώρημα δύναμης σημείου ως προς κύκλο δίνει \displaystyle{MB\cdot ME=MI_{B}\cdot MJ_{B} \ \bf \color{red} (1)}.

Τα τρίγωνα \displaystyle{MEI_{B},MAI_{B}} έχουν την \displaystyle{MI_{B}} κοινή,\displaystyle{\hat{EMI_{B}}=\hat{AMI_{B}} και ισχύει \displaystyle{\hat{MEI_{B}}=\hat{BAI_{B}}=\hat{MAI_{B}}.

Έχουν δηλαδή μια πλευρά κοινή και δύο γωνίες ίσες μια προς μία.Επομένως θα είναι ίσες και οι τρίτες τους γωνίες,επομένως από το κριτήριο Γ-Π-Γ παίρνουμε ότι είναι ίσα.

Επομένως \displaystyle{ME=AM} οπότε η \displaystyle{\bf \color{red} (1)} γίνεται \displaystyle{MB\cdot AM=MI_{B}\cdot MJ_{B} \ \bf \color{blue} (2)}.

Από το λήμμα παίρνουμε ότι και το τετράπλευρο \displaystyle{AI_{C}CJ_{C}} είναι εγγράψιμο.Θεωρούμε το κοινό σημείο \displaystyle{Z} του περιγγεγραμμένου του κύκλου με την ευθεία \displaystyle{BC}.

Το θεώρημα δύναμης σημείου ως προς κύκλο δίνει \displaystyle{MC\cdot MZ=MI_{C}\cdot MJ_{C} \ \bf \color{green} (3)}.Όμοια με πριν,βρίσκουμε ότι τα τρίγωνα \displaystyle{MI_{C}Z,MI_{C}A} είναι ίσα.

Επομένως \displaystyle{MZ=AM} οπότε η \displaystyle{\bf \color{green} (3)} γίνεται \displaystyle{MC\cdot AM=MI_{C}\cdot MJ_{C}}.

Όμως τώρα λόγω του ότι \displaystyle{MB=MC} η \displaystyle{\bf \color{blue} (2)} δίνει \displaystyle{MI_{B}\cdot MJ_{B}=MI_{C}\cdot MJ_{C}} δηλαδή το τετράπλευρο \displaystyle{I_{B}I_{C}J_{C}J_{B}} είναι εγγράψιμο που είναι το ζητούμενο.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 10, 2014 11:01 pm

Ευχαριστώ Gavrilos για την ενασχόληση και την ωραία λύση.

Υγ. Η άσκηση είναι από το περιοδικό Kvant (τεύχος 2 του 2012) αλλά να υποθέσω θα συναντάται και αλλού.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης