Καθετότητα ισοδύναμη με συνευθειακότητα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Καθετότητα ισοδύναμη με συνευθειακότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Φεβ 16, 2013 2:13 pm

Δυο άνισοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία M και N.
Από σημείο \Delta της ευθείας MN, που βρίσκεται προς το μέρος του N φέρουμε εφαπτόμενες προς τους δυο κύκλους και έστω \Sigma και T τα σημεία επαφής.
Οι κάθετες στις εφαπτόμενες στα σημεία επαφής τέμνονται στο K.
Να αποδείξετε ότι KM \perp MN αν και μόνον αν τα σημεία \Sigma,N,T είναι συνευθειακά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4089
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καθετότητα ισοδύναμη με συνευθειακότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Φεβ 16, 2013 8:53 pm

socrates έγραψε:Δυο άνισοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία M και N.
Από σημείο \Delta της ευθείας MN, που βρίσκεται προς το μέρος του N φέρουμε εφαπτόμενες προς τους δυο κύκλους και έστω \Sigma και T τα σημεία επαφής.
Οι κάθετες στις εφαπτόμενες στα σημεία επαφής τέμνονται στο K. Να αποδείξετε ότι KM \perp MN αν και μόνον αν τα σημεία \Sigma,N,T είναι συνευθειακά.
\bullet Ας είναι S,N,T συνευθειακά. Τότε το τετράπλευρο DSKT είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου KD \left( {\angle KSD = \angle KTD = {{90}^0}} \right).

Είναι \boxed{\angle TNM\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta \,\,\sigma \tau o\nu \,\,\left( L \right)} \frac{{\angle TLM}}{2}}:\left( 1 \right) και \boxed{\angle SNM\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,(\pi \alpha \rho ) - \varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\nu \,\,\left( O \right)} {{180}^0} - \frac{{\angle SOM}}{2}}:\left( 2 \right)

Από \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle TNM + \angle SNM = {180^0} + \frac{{\angle TLM - \angle SOM}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{S,N,T\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha  \to \angle TNM + \angle SNM = {{180}^0}} {180^0} = {180^0} + \frac{{\angle TLM - \angle SOM}}{2} \Rightarrow \boxed{\angle TLM - \angle SOM}:\left( 3 \right).

Έτσι τα ισοσκελή τρίγωνα \vartriangle MLT\left( {LM = LT = {R_L}} \right),\vartriangle MOS\left( {OM = OS = {R_O}} \right) είναι όμοια οπότε:

\angle MTK \equiv \angle MTL = \angle MSO \equiv \angle MSK \Rightarrow KMTS είναι εγγράψιμο.

Από την εγγραψιμότητα των δύο τετραπλεύρων DSKT και KMTS με τρεις κοινές κορυφές \left( {S,K,T} \right) προκύπτει ότι τα σημεία \left( {D,S,K,M,T} \right)

είναι ομοκυκλικά και επομένως \angle KMD = {90^0} \Rightarrow \boxed{KM \bot MD} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

[attachment=0]1.png[/attachment]
\bullet Αντιστρόφως αν είναι KM \bot MD \Rightarrow \angle KMD = {90^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle KSD = \angle KTD = {{90}^0}} D,S,K,M,T ομοκυκλικά.

Τότε \angle MTK\mathop  = \limits^{KMTS\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o} \angle MSK\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle MLT,\vartriangle MOS\,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \eta } \vartriangle MLT \sim \vartriangle MOS\, \mathop  \Rightarrow \limits^{\angle MLT = 2\angle MNT,\angle MNS = {{360}^0} - 2\angle MNT\,\,(\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\, - \,\,\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \varepsilon \varsigma )}

2\angle MNT = {360^0} - 2\angle MNT \Rightarrow \ldots \angle MNT + \angle MNT = {180^0} \Rightarrow S,N,T συνευεθειακά και το αντίστροφο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
1.png
1.png (46.96 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Καθετότητα ισοδύναμη με συνευθειακότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Φεβ 16, 2013 9:00 pm

φανερό
αν αντιστρέψουμε με πόλο \Delta και λόγο \lambda=\Delta M \cdot \Delta N
( \Sigma,T μένουν αμετάβλητα,όπως και οι αρχικοί κύκλοι)
τα \Sigma,K,T, \Delta ομοκυκλικά (K\hat \Sigma \Delta+\ K \hat T \Delta=180^o)

τα \Sigma,N,T είναι συνευθειακά αν και μόνο αν τα \Sigma,M,T είναι ομοκυκλικά
Συνημμένα
αν-ν.png
αν-ν.png (24.99 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης