mathematica.gr

Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Ζητείται να προσδιοριστούν τα σημεία επί των αντιστοίχως, ώστε το τρίγωνο να είναι ισοσκελές με και όπου είναι δοσμένη γωνία.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Για ευκολία, θεωρείστε το τρίγωνο οξυγώνιο και

Αν μου επιτρέπει ο φίλος Κώστας θα ήθελα να θέσω και ένα 2ο ερώτημα, γενικεύοντας, που λύνεται με «ταυτόσημο» τρόπο με την κατασκευή που ζητά ο Κώστας.
Το 2ο αυτό ερώτημα είναι:

« Προσδιορίστε σημεία επί των πλευρών αντίστοιχα, ώστε , όταν τα
είναι δοθέντα μη μηδενικά ευθύγραμμα τμήματα.»


(*) Μία ιδέα τοποθετημένη μέσα σε hide, ώστε να ασχοληθούν και άλλοι λύτες χωρίς επηρεασμούς, που θα βγεί μετά την πρώτη λύση.

Απλά θα ήθελα σε πρώτη φάση να εκθέσω την σκέψη μου για την όμορφη αυτή άσκηση του Κώστα στην γενικευμένη της εκδοχή που προσωπικά αναφέρθηκα. Aναφέρω λοιπόν την βασική ιδέα:
Όταν δίνονται ευθεία , σημείο και ότι το τρίγωνο να κινείται ώστε να διατηρεί τις γωνίες του με την κορυφή του να κινείται στην ευθεία , τότε ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής είναι η ευθεία αφού και το σημείο προκύπτει σταθερό και η κλίση της ως προς την ευθεία προκύπτει σταθερή, αρκεί να θεωρήσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο κατά την διαδικασία της μεθόδου της Ανάλυσης που ως γνωστόν είναι η μέθοδος εκκίνησης για τα προβλήματα των Γεωμετρικών Κατασκευών ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ …

Δείτε Εδώ, την ενδιαφέρουσα συζήτηση που είχε γίνει παλιότερα για το γενικό πρόβλημα στο οποίο αναφέρθηκε ο Σωτήρης.

Είναι φανερό ότι το σημείο μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται επί της πλευράς απέναντι της κορυφής τριγώνου του οποίου οι ευθείες των πλευρών δια του ταυτίζονται με αυτές του δοσμένου τριγώνου

Για την ειδική περίπτωση του προβλήματος όπως δίνεται στην εκφώνηση, υπάρχει μία απλή και διδακτική προσέγγιση ως εφαρμογή του μετασχηματισμού στροφής (*), την οποία θέλησα να αναδείξω.

Κώστας Βήττας.

(*) Στην πραγματικότητα έχουμε πάλι εφαρμογή του μετασχηματισμού Στροφής - Ομοιοθεσίας ( = Spiral Similarity ), όπως και στο γενικό πρόβλημα, αλλά ο λόγος Ομοιοθεσίας στην ειδική περίπτωση του προβλήματος που έχει τεθεί, είναι ίσος με .

ΥΓ. Δεν γνωρίζω αν υπάρχει απόδοση στα ελληνικά του όρου Spiral Similarity, αλλά νομίζω κάπου εδώ στο είχε αναφερθεί ως Στροφική Ομοιοθεσία, από τον Δημήτρη Παπαδημητρίου αν δεν κάνω λάθος.

Καταγράφοντας πλέον την γενικότερη κατασκευή, όπως την ανέλυσα, ευχαριστώντας τον Κώστα που επέτρεψε την κατάθεση του γενικευμένου θέματος:
Έστω ότι έχουμε σαν δεδομένα τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο .
Ζητάμε την κατασκευή τριγώνου με τα σημεία να ανήκουν στις πλευρές αντίστοιχα και όταν δίδονται κατά μέγεθος οι γωνίες
.

H Κατασκευή:
Εύκολα κατασκευάζουμε σημείο της πλευράς , ώστε

Αμέσως μετά κατασκευάζουμε γωνία
και θεωρούμε
Τέλος κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο που τέμνει την πλευρά σε σημείο . Εδώ η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη του τριγώνου τελείωσε.

(*) Κατανοούμε πλέον ότι γνωρίζοντας μία γωνία ισοσκελούς τριγώνου αυτόματα γνωρίζουμε και τις άλλες γωνίες του, οπότε το πρόβλημα του Κώστα λύνεται και με αυτόν τον τρόπο.