Βρείτε τη γωνία χ (99)

Ιστοσελίδα · #1

: χ99.png (30.05 KiB) Προβλήθηκε 2341 φορές

Στο εσωτερικό τριγώνου ABC

με $\widehat A = {102^ \circ }$ , παίρνουμε σημείο

τέτοιο ώστε: $D\widehat BA = 2D\widehat CA = {18^ \circ }$ και BD = BA

. Βρείτε τη γωνία $x = D\widehat CB$ .

S.E.Louridas · #2

Για την όμορφη αυτή άσκηση του Άριστου και Καταξιωμένου Μιχάλη Νάννου και σε καθαρά Γεωμετρικό περιβάλλον:

Έστω (O, OA=AB=BD)

ο περιγεγραμμένος κύκλος (ADC)

που προφανώς είναι ίσος με τον κύκλο (B, BA=BD),

επειδή έχουμε:
$\angle AOD = 2\angle ACD = 18^ \circ = \angle ABD.$

$\begin{array}{*{20}c} {\angle BAD = \angle BDA = \frac{{180^ \circ - 18^ \circ }} {2} = 81^ \circ \Rightarrow \angle DAC = 102^ \circ - 81^ \circ = 21^ \circ } \\ { \Rightarrow \angle AOC = 2 \cdot 21^ \circ + 2 \cdot 9^ \circ = 42^ \circ + 18^ \circ = 60^ \circ \Rightarrow OA = AC = CO.} \\ \end{array}$

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ABT

, με

σημεία εκατέρωθεν της ευθείας BD.

Ο κύκλος

περνά από τα σημεία T,C,O.

Επομένως παίρνουμε:
$\angle ATC = \angle ACT = 69^ \circ \Rightarrow \angle DCB = 69^ \circ - 30^ \circ - 9^ \circ = 30^ \circ .$

S.E.Louridas

#3

καλησπέρα Μιχάλη,Σωτήρη... τριγωνομετρικά...

$\displaystyle{\vartriangle BCD\rightarrow \frac{BD(=c)}{\sin x}=\frac{BC(=a)}{\sin 129},~~(1)}$

$\displaystyle{\vartriangle ABC\rightarrow \frac{c}{\sin (9+x)}=\frac{a}{\sin 102},~~(2)}$

$\displaystyle{(1),(2)\Rightarrow \frac{\sin(9+x)}{\sin x}=\frac{\sin 102}{\sin 129}=\frac{\cos 12}{\cos 39}=2\sin 39=\frac{\sin(9+30)}{\sin 30}\Rightarrow x=30^o}$

p_gianno · #4

τργ

ισοσκελές. Άρα $<BDA=81^\circ$ και $<DAC=102^\circ-81^\circ=21^\circ$
Έστω ADE

το συμμετρικό του τργ ADC

ως προς

.
Είναι τότε $<AED=9^\circ=0,5 <ABD$ συνεπώς

σημείο του κύκλου (B,BA)

και $BAE=102^\circ-EAC=60^\circ$ συνεπώς τργ BAE

ισόπλευρο και BD=BE

(1)
Αν

τομή της

με την

τότε από το τργ BAZ

έχουμε $<Z=60^\circ$ συνεπώς $<ZDC=51^\circ$ και επειδή $<HDZ=81^\circ$ έχουμε $<HDC=30^\circ$ ή $EDC=60^\circ$ οπότε τργ EDC

ισόπλευρο με συνέπεια CD=CE

(2)
Από 2 και 1 προκύπτει DE,BC

κάθετες , συνεπώς

ύψος του ισοπλεύρου DCE

άρα $x=30^\circ$

Παρατήρηση
C ---> Γ

Δίδεται στην εκφώνηση ότι $<BAC=102^\circ$

Ιστοσελίδα · #5

: x99-sol.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 2154 φορές

Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις.

Σχεδιάζω το ισόπλευρο BDE

και έχω από υπόθεση το ισοσκελές $BAD\left( {{{18}^ \circ }{{,81}^ \circ }{{,81}^ \circ }} \right)$ , καθώς και το σχηματιζόμενο $BEA\left( {{{42}^ \circ }{{,69}^ \circ }{{,69}^ \circ }} \right)$ .

Είναι $A\widehat ED = {69^ \circ } - {60^ \circ } = {9^ \circ } = A\widehat CD$ , $A\widehat DE = {81^ \circ } - {60^ \circ } = {21^ \circ } = {102^ \circ } - {81^ \circ } = D\widehat AC$ και εφόσον

κοινή, τα τρίγωνα ADE,ADC

είναι ίσα από $\Gamma - \Pi - \Gamma$ , οπότε DE = AC = AB

.

Από το ισοσκελές $ABC\left( {{{102}^ \circ }{{,39}^ \circ }{{,39}^ \circ }} \right)$ παίρνουμε $x = {39^ \circ } - {9^ \circ } = {30^ \circ }$ .

Φανης Θεοφανιδης · #6

: 1.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 1751 φορές

Φέρνω το τμήμα

και γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου CDA

του οποίου το κέντρο ονομάζω

.

Φέρνω και τα τμήματα OA, OD, OC

.

Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν πολύ εύκολα.

Παρατηρώ ότι το τρίγωνο AOC

είναι ισόπλευρο. Οπότε AO=AC (1)

.

Αλλά $\triangle ABD=\triangle AOD$ . Άρα AB=AO (2)

.

Από την (1)

και

έπεται ότι AB=AC

.

Συνεπώς $x=30^{0}$ .

Βρείτε τη γωνία χ (99)

Βρείτε τη γωνία χ (99)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (99)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (99)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (99)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (99)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (99)

Μέλη σε σύνδεση