Αν και μόνο αν...

#1

: Αν και μόνο αν....png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Από σημείο

της βάσης

τριγώνου

φέρνουμε τις κάθετες DE, DF

προς τις

αντίστοιχα και έστω

το κοινό σημείο των

και

.

Να αποδείξετε ότι η

είναι κάθετη στην

, αν και μόνο αν η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{{\rm{B}}\widehat {\rm{A}}{\rm{C}}}$ .

#2

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Αν και μόνο αν....png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από σημείο της βάσης τριγώνου φέρνουμε τις κάθετες προς τις αντίστοιχα και έστω το κοινό σημείο των και .

Να αποδείξετε ότι η είναι κάθετη στην , αν και μόνο αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{{\rm{B}}\widehat {\rm{A}}{\rm{C}}}$ .

Καλημέρα Γιώργο καλημέρα σε όλους. Ωραία άσκηση . Αν δεν είναι Γιώργο δική σου μπορούμε να έχουμε την πηγή;

: Αν και μόνο άν.png (38.86 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Έστω ότι η

διχοτόμος της γωνίας $B\widehat AC$ . Τότε $DE = DF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = AF$ . Προφανώς το τετράπλευρο AEDF

είναι εγγράψιμο και έστω ότι ο κύκλος του, τέμνει την

εκτός του

και στο

.

Επειδή η

διάμετρος θα είναι $AZ \bot BC$ . Μένει να δείξω ότι διέρχεται και από το κοινό σημείο

των

. Προς τούτο αρκεί να επαληθεύεται το αντίστροφο του θεωρήματος Ceva

.

Είναι $l = \dfrac{{AE}}{{EB}} \cdot \dfrac{{BZ}}{{ZC}} \cdot \dfrac{{CF}}{{FA}} = \dfrac{{BZ}}{{EB}} \cdot \dfrac{{CF}}{{ZC}}\,\,(1)\,\,$ ( αφού AE = AF

) . Εξ άλλου από τη δύναμη των σημείων C,B

ως προς αυτόν τον κύκλο έχουμε :

$\left\{ \begin{gathered} CD \cdot CZ = CF \cdot CA \hfill \\ BZ \cdot BD = BE \cdot BA \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{CF}}{{CZ}} = \frac{{CD}}{{CA}} \hfill \\ \frac{{BZ}}{{BE}} = \frac{{BA}}{{BD}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,(2)$ . Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη και λόγω του θεωρήματος της διχοτόμου και της (1)

έχουμε $\boxed{l = 1}$ και έτσι η

διέρχεται από το

.

Αν τώρα θεωρήσουμε ότι για κάποιο άλλο

είναι $AP \bot BC$ και η

δεν είναι διχοτόμος της γωνίας $B\widehat AC$ , τότε με την προηγούμενη διαδικασία θα έχουμε και άλλη κάθετη από το

στην

, άτοπο.

Φιλικά Νίκος

#3

Καλημέρα Νίκο, Καλημέρα σε όλους.

Νίκο σ' ευχαριστώ για την πολύ ωραία λύση.

Δεν θυμάμαι πώς έπεσα πάνω σ' αυτή την άσκηση. Ξέρεις, ψάχνεις από εδώ κι από εκεί και σε παραπέμπουν κάπου αλλού και πέφτεις πάνω. Η άσκηση πάντως αυτή κάτι μου θύμιζε όταν την είδα και ψάχνοντας στο αρχείο μου, βρήκα ότι είναι μία παραλλαγή της 3ης άσκησης από την JBMO του 2000
Εδώ

#4

george visvikis έγραψε: Από σημείο της βάσης τριγώνου φέρνουμε τις κάθετες προς τις αντίστοιχα και έστω το κοινό σημείο των και . Να αποδείξετε ότι η είναι κάθετη στην , αν και μόνο αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{{\rm{B}}\widehat {\rm{A}}{\rm{C}}}$ .

: 1.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Έστω η διχοτόμος της γωνίας $\angle BAC$ και τα ύψη του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και έστω $H \equiv BF' \cap CE'$ .

Τότε ισχύει: $\boxed{\frac{{EE'}}{{EB}}\mathop = \limits^{DE\parallel CE'} \frac{{DC}}{{DB}}\mathop = \limits^{AD\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,} \frac{{AC}}{{AB}}}:\left( 1 \right)$ οπότε: $\left( {E'BEA} \right) = \dfrac{{EE'}}{{EB}}:\dfrac{{AE'}}{{AB}}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{AC}}{{AB}}:\dfrac{{AE'}}{{AB}} \Rightarrow$ $\boxed{\left( {E'BEA} \right) = \dfrac{{AC}}{{AE'}}}:\left( 2 \right)$

Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι: $\boxed{\left( {F'CFA} \right) = \frac{{AB}}{{AF'}}}:\left( 3 \right)$ .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $E'BCF' \Rightarrow AE' \cdot AB = AF' \cdot AC \Rightarrow$ $\dfrac{{AE'}}{{AC}} = \dfrac{{AF'}}{{AB}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right),\left( 3 \right)} \boxed{\left( {E'BEA} \right) = \left( {F'CFA} \right)}:\left( 4 \right)$

Από $\left( 4 \right) \Rightarrow A \equiv BA \cap CA,H \equiv BF' \cap CE',P \equiv BF \cap CE$ συνευθειακά αφού οι δέσμες $\left( {C.E'BEA} \right),\left( {B.F'CFA} \right)$ έχουν ίσους διπλούς λόγους και κοινή

ακτίνα την και με $AH \bot BC \Rightarrow AP \bot BC$ και προφανώς με το αντίστροφο του θεωρήματος του διπλού λόγου θα ισχύει και το αντίστροφο του προβλήματος.

Στάθης

Αν και μόνο αν...

Αν και μόνο αν...

Re: Αν και μόνο αν...

Re: Αν και μόνο αν...

Re: Αν και μόνο αν...

Μέλη σε σύνδεση