Ασκήσεις Τοπολογίας

Συντονιστής: matha

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am

8) Έστω S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\} όπου f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_n(x) = x^n.
Δείξτε ότι το S είναι κλειστό και φραγμένο στον C([0,1],\mathbb{R}) όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον C([0,1],\mathbb{R}).


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am

stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am
8) Έστω S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\} όπου f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_n(x) = x^n.
Δείξτε ότι το S είναι κλειστό και φραγμένο στον C([0,1],\mathbb{R}) όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον C([0,1],\mathbb{R}).
α) Το φραγμένο τετριμμένο αφού \displaystyle{||f_n||_{\infty}=1}. Αν f_{n_k} \rightarrow f \in C([0,1] ομοιόμορφα, τότε πρώτα απ' όλα f(1)=\lim f_{n_k}(1)=1. Τώρα, το σύνολο των δεικτών n_k δεν μπορεί να είναι μη φραγμένο γιατί θα είχε υπακολουθία n_{k_m} \to \infty. Αλλά τότε για κάθε x\in [0,1) θα είχαμε f(x)=\lim x^{n_{k_m}}=0. Αλλά αυτό αντιβαίνει στην συνέχεια της f στο 1. Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η f_{n_k} συγκλίνει), η (n_k) είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία f_{n_k} είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του S.

β) Μη συμπάγεια: Ουσιαστικά το είπαμε καθώς κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία της f_n έχει κατά σημείο όριο την μη συνεχή f που είδαμε, αρά δεν υπάρχει ομοιόμορφα συγκλίνουσα υπακολουθία της.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 20, 2020 2:37 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am
stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am
8) Έστω S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\} όπου f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_n(x) = x^n.
Δείξτε ότι το S είναι κλειστό και φραγμένο στον C([0,1],\mathbb{R}) όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον C([0,1],\mathbb{R}).
α) Το φραγμένο τετριμμένο αφού \displaystyle{||f_n||_{\infty}=1}. Αν f_{n_k} \rightarrow f \in C([0,1] ομοιόμορφα, τότε πρώτα απ' όλα f(1)=\lim f_{n_k}(1)=1. Τώρα, το σύνολο των δεικτών n_k δεν μπορεί να είναι μη φραγμένο γιατί θα είχε υπακολουθία n_{k_m} \to \infty. Αλλά τότε για κάθε x\in [0,1) θα είχαμε f(x)=\lim x^{n_{k_m}}=0. Αλλά αυτό αντιβαίνει στην συνέχεια της f στο 1. Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η f_{n_k} συγκλίνει), η (n_k) είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία f_{n_k} είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του S.

β) Μη συμπάγεια: Ουσιαστικά το είπαμε καθώς κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία της f_n έχει κατά σημείο όριο την μη συνεχή f που είδαμε, αρά δεν υπάρχει ομοιόμορφα συγκλίνουσα υπακολουθία της.
Πολύ ωραία λύση. Ευχαριστούμε κύριε Λάμπρου.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 20, 2020 11:40 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am
Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η f_{n_k} συγκλίνει), η (n_k) είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία f_{n_k} είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του S.
Ας δούμε μία παραλλαγή του συλλογισμού σε αυτό το σημείο, που κάνει λίγο πιο καθαρό το συμπέρασμα:

Αφού η ακολουθία έχουν έχει πεπερασμένες το πλήθος τιμές, κάποια από αυτές επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Ας ονομάσουμε n_{k_m} τους όρους της n_k που παίρνουν αυτή την κοινή τιμή, δηλαδή \displaystyle{ n_{k_1}= n_{k_2}= n_{k_3}=...}.

Είναι τότε f= \lim f_{n_{k_m}} = f_{n_{k_1}}\in S, όπως θέλαμε.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:25 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 11:40 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am
Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η f_{n_k} συγκλίνει), η (n_k) είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία f_{n_k} είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του S.
Ας δούμε μία παραλλαγή του συλλογισμού σε αυτό το σημείο, που κάνει λίγο πιο καθαρό το συμπέρασμα:

Αφού η ακολουθία έχουν έχει πεπερασμένες το πλήθος τιμές, κάποια από αυτές επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Ας ονομάσουμε n_{k_m} τους όρους της n_k που παίρνουν αυτή την κοινή τιμή, δηλαδή \displaystyle{ n_{k_1}= n_{k_2}= n_{k_3}=...}.

Είναι τότε f= \lim f_{n_{k_m}} = f_{n_{k_1}}\in S, όπως θέλαμε.
Ναι και εγώ αυτό σκέφτηκα όταν διάβαζα την πρώτη σας απόδειξη.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1420
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:55 am

Καλησπέρα.Μια άλλη ιδέα είναι η ακόλουθη
stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am
8) Έστω S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\} όπου f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_n(x) = x^n.
Δείξτε ότι το S είναι κλειστό και φραγμένο στον C([0,1],\mathbb{R}) όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον C([0,1],\mathbb{R}).
Θεωρούμε τον τελεστή \displaystyle{T:(C(\left[0,1\right]),||\cdot||_{\infty})\to (\mathbb{R},|\cdot|)\,,T(f)=\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x} ο οποίος είναι γραμμικός και ισχύει \displaystyle{|T(f)|=\left|\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\right|\leq \int_{0}^{1}|f(x)|\,\mathrm{d}x\leq \int_{0}^{1}||f||_{\infty}\,\mathrm{d}x=||f||_{\infty}} (άρα T φραγμένος)

Συνεπώς, ο T είναι μια συνεχής απεικόνιση μεταξύ μετρικών χώρων. Για κάθε n\in\mathbb{N} υπολογίζουμε \displaystyle{T(f_n)=\int_{0}^{1}f_n(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x^n\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{n+1}}.

Επομένως, αν το S ήταν συμπαγές στον (C(\left[0,1\right],||\cdot||_{\infty}), θα ήταν και το T(S) συμπαγές στον (\mathbb{R},|\cdot|). Όμως,

T(S)=\left\{T(f_n)\in\mathbb{R}: n\in\mathbb{N}\right\}=\left\{\dfrac{1}{n+1}\in\mathbb{R}: n\in\mathbb{N}\right\}, το οποίο δεν είναι συμπαγές

αφού δεν είναι κλειστό.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 21, 2020 10:42 am

Ας δούμε και αλλιώς την μη-συμπάγεια στην άσκηση 8). Πάμε από τον ορισμό.

Προφανώς \displaystyle{S\subset \cup _n B\left (f_n, \frac {1}{2}\right )}. Δεν μπορεί πεπερασμένα το πλήθος από τα \displaystyle{B\left (f_n, \frac {1}{2}\right )} να καλύπτουν τον S γιατί τότε κάποια από τις μπάλες αυτές θα περιείχε άπειρες από τις f_n. Έστω \displaystyle{B\left (f_{n_0}, \frac {1}{2}\right )} η συγκεκριμένη μπάλα.
Τότε για άπειρα n θα ίσχυε για κάθε x\in [0,1]

\displaystyle{|x^{n_0} - x^n| \le \sup_{0\le x \le 1} |x^{n_0} - x^n| = d(f_{n_0} , f_n} )< \frac {1}{2}} οπότε

\displaystyle{ -\frac {1}{2} + x^n < x^{n_0}<  \frac {1}{2}+ x^n}

Παίρνοντας όριο n\to \infty (μέσω των άπειρων n που προαναφέραμε), θα είχαμε

\displaystyle{ -\frac {1}{2}  \le x^{n_0} \le  \frac {1}{2}} .

Αυτό είναι άτοπο γιατί παίρνοντας όριο x\to 1 θα είχαμε \displaystyle{ -\frac {1}{2}  \le 1 \le  \frac {1}{2}}. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 22, 2020 3:13 pm

9) Δείξτε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι T_4 τοπολογικός χώρος.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:02 pm

stranger έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 3:13 pm
9) Δείξτε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι T_4 τοπολογικός χώρος.
Δεν έχει νόημα να τοποθετούμε στο φόρουμ κοινότατα θεωρήματα που υπάρχουν ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας. Ο στόχος του φόρουμ δεν είναι να ξαναγράψουμε τα χιλιογραμμένα αλλά να μένουμε σε νέα πράγματα ή ενδιαφέροντα αλλά όχι τόσο γνωστά θέματα.

Όπως και να είναι, περιληπτικά (κύρια βήματα), έστω K,L τα δύο ξένα κλειστά. Για κάθε x\in K θεωρούμε τον αριθμό d_x = \inf \{d(x,y) : \,y\in L\}. Από κλειστότητα είναι d_x>0. Κάνουμε το ανάλογο για τα y\in L, για να βρούμε αντίστοιχα d_y{'}. Τότε τα U= \cup_{x\in K}  B(x, \frac {1}{3}d_x) και V= \cup_{y\in L}  B(y, \frac {1}{3}d_y{'}) κάνουν την δουλειά, δηλαδή είναι ξένα, ανοικτά και διαχωρίζουν τα K,L.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:08 pm

Έχετε δίκιο κύριε Λάμπρου. Είναι αρκετά γνωστό.
Θα προσπαθήσω από εδώ και πέρα οι ασκήσεις που βάζω να έχουν περισσότερο μαθηματικό ενδιαφέρον.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες