Ασκήσεις Τοπολογίας

Συντονιστής: matha

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm

4) Έστω X ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες T_1,T_2 στον X με T_1 \subset T_2, έτσι ώστε ο X με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι T_1=T_2.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 13, 2020 2:57 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm
2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;
Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον X ώστε x \sim y ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το x και το y.
Έστω A_x η κλάση ισοδυναμίας του x.
Θα δείξω ότι A_x = X για κάθε x \in X. Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το A_x είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον X, αφού ο X είναι συνεκτικός.
Έστω x \in X. Αφού ο X είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή U_x του x που είναι ομοιομορφική με τον \mathbb{R}^n. Έστω f ένας ομοιομορφισμός από τo U_x στον \mathbb{R}^n.
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας B(f(x),1) είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x.
Άρα τελικά έχουμε A_x = \cup_{y \in A_x} W_y, άρα το A_x είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το A_x είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία u_n \rightarrow z με u_n \in A_x ισχύει z \in A_x.
Άρα αφού u_n \rightarrow z έχουμε ότι u_n \in W_z για κάθε n \geq n_0. Άρα u_n \sim z και u_n \sim x, άρα x \sim z και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 13, 2020 4:51 pm

5) Έστω D^2=\{(x,y) : x^2+y^2 \leq 1\}, S^1=\{(x,y): x^2+y^2=1\} και x \in D^2.
Δείξτε ότι ο D^2/\{x\} είναι απλά συνεκτικός αν και μόνο αν x \in S^1.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1420
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am

stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm
4) Έστω X ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες T_1,T_2 στον X με T_1 \subset T_2, έτσι ώστε ο X με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι T_1=T_2.
Έστω K\in T_2. Τότε το σύνολο X\setminus K ως T_2- κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο (X,T_2) είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το X\setminus K είναι και T_1 συμπαγές. Έστω λοιπόν (U_i)_{i\in I} T_1- ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Επειδή T_1\subseteq T_2, η (U_i)_{i\in I} είναι και T_2 - ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I ώστε \displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}
όπως θέλαμε. Αφού ο (X,T_1) είναι συμπαγής και Haussdorf, και X\setminus K συμπαγές, έπεται ότι X\setminus K κλειστό, άρα K\in T_1.

Τελικά, T_1=T_2.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 14, 2020 1:16 pm

BAGGP93 έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm
4) Έστω X ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες T_1,T_2 στον X με T_1 \subset T_2, έτσι ώστε ο X με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι T_1=T_2.
Έστω K\in T_2. Τότε το σύνολο X\setminus K ως T_2- κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο (X,T_2) είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το X\setminus K είναι και T_1 συμπαγές. Έστω λοιπόν (U_i)_{i\in I} T_1- ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Επειδή T_1\subseteq T_2, η (U_i)_{i\in I} είναι και T_2 - ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I ώστε \displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}
όπως θέλαμε. Αφού ο (X,T_1) είναι συμπαγής και Haussdorf, και X\setminus K συμπαγές, έπεται ότι X\setminus K κλειστό, άρα K\in T_1.

Τελικά, T_1=T_2.
:10sta10:


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
sot arm
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:00 pm

stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm
4) Έστω X ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες T_1,T_2 στον X με T_1 \subset T_2, έτσι ώστε ο X με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι T_1=T_2.
Διαφορετικά, έστω id : (X, T_{2}) \rightarrow (X, T_{1} η ταυτοτική . Αφού T_{1} \subset T_{2} η  Id είναι συνεχής, άρα η εικόνα συμπαγούς συμπαγές και άρα κάθε συμπαγές στην T_{2} είναι και στην T_{1} και λοιπά.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:41 pm

BAGGP93 έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm
4) Έστω X ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες T_1,T_2 στον X με T_1 \subset T_2, έτσι ώστε ο X με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι T_1=T_2.
Έστω K\in T_2. Τότε το σύνολο X\setminus K ως T_2- κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο (X,T_2) είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το X\setminus K είναι και T_1 συμπαγές. Έστω λοιπόν (U_i)_{i\in I} T_1- ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Επειδή T_1\subseteq T_2, η (U_i)_{i\in I} είναι και T_2 - ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I ώστε \displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}
όπως θέλαμε. Αφού ο (X,T_1) είναι συμπαγής και Haussdorf, και X\setminus K συμπαγές, έπεται ότι X\setminus K κλειστό, άρα K\in T_1.

Τελικά, T_1=T_2.
BAGGP93 έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
Έστω λοιπόν (U_i)_{i\in I} T_1- ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Επειδή T_1\subseteq T_2, η (U_i)_{i\in I} είναι και T_2 - ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I ώστε \displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}
????????????????
Τετριμμένη διόρθωση αλλά για κάτι τέτοια μας πάνε μέσα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:44 pm

stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 2:57 pm
stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm
2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;
Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον X ώστε x \sim y ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το x και το y.
Έστω A_x η κλάση ισοδυναμίας του x.
Θα δείξω ότι A_x = X για κάθε x \in X. Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το A_x είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον X, αφού ο X είναι συνεκτικός.
Έστω x \in X. Αφού ο X είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή U_x του x που είναι ομοιομορφική με τον \mathbb{R}^n. Έστω f ένας ομοιομορφισμός από τo U_x στον \mathbb{R}^n.
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας B(f(x),1) είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x.
Άρα τελικά έχουμε A_x = \cup_{y \in A_x} W_y, άρα το A_x είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το A_x είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία u_n \rightarrow z με u_n \in A_x ισχύει z \in A_x.
Άρα αφού u_n \rightarrow z έχουμε ότι u_n \in W_z για κάθε n \geq n_0. Άρα u_n \sim z και u_n \sim x, άρα x \sim z και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.
Ετσι όπως είναι η απόδειξη υπάρχει πρόβλημα.
(όχι στην ουσία αλλά στην διατύπωση)
Για το κλειστό δεν χρειάζονται δίκτυα και τέτοια.
Ειναι εύκολο ότι το συμπλήρωμα είναι ανοικτό.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:44 pm
stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 2:57 pm
stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm
2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;
Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον X ώστε x \sim y ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το x και το y.
Έστω A_x η κλάση ισοδυναμίας του x.
Θα δείξω ότι A_x = X για κάθε x \in X. Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το A_x είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον X, αφού ο X είναι συνεκτικός.
Έστω x \in X. Αφού ο X είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή U_x του x που είναι ομοιομορφική με τον \mathbb{R}^n. Έστω f ένας ομοιομορφισμός από τo U_x στον \mathbb{R}^n.
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας B(f(x),1) είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x.
Άρα τελικά έχουμε A_x = \cup_{y \in A_x} W_y, άρα το A_x είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το A_x είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία u_n \rightarrow z με u_n \in A_x ισχύει z \in A_x.
Άρα αφού u_n \rightarrow z έχουμε ότι u_n \in W_z για κάθε n \geq n_0. Άρα u_n \sim z και u_n \sim x, άρα x \sim z και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.
Ετσι όπως είναι η απόδειξη υπάρχει πρόβλημα.
(όχι στην ουσία αλλά στην διατύπωση)
Για το κλειστό δεν χρειάζονται δίκτυα και τέτοια.
Ειναι εύκολο ότι το συμπλήρωμα είναι ανοικτό.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm

stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm
.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις y\in A_{x}
η κάτι τέτοιο.
Το y δεν το βάζεις στο παιχνίδι.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:11 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm
.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις y\in A_{x}
η κάτι τέτοιο.
Το y δεν το βάζεις στο παιχνίδι.
Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y προφανώς αφού y \in W_y για κάθε y \in A_x.
Αν w \in W_y με y \in A_x τότε w \sim y και y \sim x, άρα w \sim x που σημαίνει w \in A_x.
Άρα W_y \subset A_x.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:34 pm

stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:11 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm
.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις y\in A_{x}
η κάτι τέτοιο.
Το y δεν το βάζεις στο παιχνίδι.
Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y προφανώς αφού y \in W_y για κάθε y \in A_x.
Αν w \in W_y με y \in A_x τότε w \sim y και y \sim x, άρα w \sim x που σημαίνει w \in A_x.
Άρα W_y \subset A_x.
Δεν κατάλαβες.
Το έχεις στο μυαλό σου άλλα δεν το γράφεις .
Το W_y δεν υπάρχει μέσα στην απόδειξη σου.
Θα πρέπει να πάρεις y\in A_{x}
κλπ
Να σημειώσω ότι πολλές φορές κατι που έχουμε στο μυαλό μας και είναι προφανές
το μεταφέρουμε λάθος.
Αυτά που γράφονται εδώ θα διαβάζονται σε πολλά -πολλά χρόνια μετά .
(το ελπίζω).
Πρέπει να είναι κατά την γνώμη απόλυτα κατανοητά.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:41 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:34 pm
stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:11 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm
.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις y\in A_{x}
η κάτι τέτοιο.
Το y δεν το βάζεις στο παιχνίδι.
Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y προφανώς αφού y \in W_y για κάθε y \in A_x.
Αν w \in W_y με y \in A_x τότε w \sim y και y \sim x, άρα w \sim x που σημαίνει w \in A_x.
Άρα W_y \subset A_x.
Δεν κατάλαβες.
Το έχεις στο μυαλό σου άλλα δεν το γράφεις .
Γιατί W_y \subset A_x.
Να σημειώσω ότι πολλές φορές κατι που έχουμε στο μυαλό μας και είναι προφανές
το μεταφέρουμε λάθος.
Αυτά που γράφονται εδώ θα διαβάζονται σε πολλά -πολλά χρόνια μετά .
(το ελπίζω).
Έχω αποδείξει(νομίζω αρκετά αυστηρά) ότι W_y \subset A_x για κάθε y \in A_x.
Άρα \cup_{y \in A_x}W_y \subset A_x αφού για κάθε τέτοιο W_y ισχύει W_y \subset A_x
Αυτό εννοείς; Αν όχι πες μου.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:47 pm

stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:41 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:34 pm
stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:11 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm
.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις y\in A_{x}
η κάτι τέτοιο.
Το y δεν το βάζεις στο παιχνίδι.
Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y προφανώς αφού y \in W_y για κάθε y \in A_x.
Αν w \in W_y με y \in A_x τότε w \sim y και y \sim x, άρα w \sim x που σημαίνει w \in A_x.
Άρα W_y \subset A_x.
Δεν κατάλαβες.
Το έχεις στο μυαλό σου άλλα δεν το γράφεις .
Γιατί W_y \subset A_x.
Να σημειώσω ότι πολλές φορές κατι που έχουμε στο μυαλό μας και είναι προφανές
το μεταφέρουμε λάθος.
Αυτά που γράφονται εδώ θα διαβάζονται σε πολλά -πολλά χρόνια μετά .
(το ελπίζω).
Έχω αποδείξει(νομίζω αρκετά αυστηρά) ότι W_y \subset A_x για κάθε y \in A_x.
Άρα \cup_{y \in A_x}W_y \subset A_x αφού για κάθε τέτοιο W_y ισχύει W_y \subset A_x
Αυτό εννοείς; Αν όχι πες μου.
stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 2:57 pm
stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm
2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;
Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον X ώστε x \sim y ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το x και το y.
Έστω A_x η κλάση ισοδυναμίας του x.
Θα δείξω ότι A_x = X για κάθε x \in X. Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το A_x είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον X, αφού ο X είναι συνεκτικός.
Έστω x \in X. Αφού ο X είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή U_x του x που είναι ομοιομορφική με τον \mathbb{R}^n. Έστω f ένας ομοιομορφισμός από τo U_x στον \mathbb{R}^n.
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας B(f(x),1) είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x.
Άρα τελικά έχουμε A_x = \cup_{y \in A_x} W_y, άρα το A_x είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το A_x είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία u_n \rightarrow z με u_n \in A_x ισχύει z \in A_x.
Άρα αφού u_n \rightarrow z έχουμε ότι u_n \in W_z για κάθε n \geq n_0. Άρα u_n \sim z και u_n \sim x, άρα x \sim z και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.
Σου παραθέτω την αρχική απόδειξη.
Που είναι;


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:52 pm

Δεν το έχω γράψει στην αρχική απόδειξη, επειδή νομίζω είναι εύκολο να το παρατηρήσει κάποιος.
Πάντως επειδή μας διαβάζουν και άτομα που θέλουν περισσότερη αυστηρότητα, εντέλει έχεις δίκιο.Έπρεπε να το γράψω.
Σε ευχαριστώ.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1420
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Νοέμ 14, 2020 11:01 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:41 pm
BAGGP93 έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm
4) Έστω X ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες T_1,T_2 στον X με T_1 \subset T_2, έτσι ώστε ο X με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι T_1=T_2.
Έστω K\in T_2. Τότε το σύνολο X\setminus K ως T_2- κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο (X,T_2) είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το X\setminus K είναι και T_1 συμπαγές. Έστω λοιπόν (U_i)_{i\in I} T_1- ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Επειδή T_1\subseteq T_2, η (U_i)_{i\in I} είναι και T_2 - ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I ώστε \displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}
όπως θέλαμε. Αφού ο (X,T_1) είναι συμπαγής και Haussdorf, και X\setminus K συμπαγές, έπεται ότι X\setminus K κλειστό, άρα K\in T_1.

Τελικά, T_1=T_2.
BAGGP93 έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
Έστω λοιπόν (U_i)_{i\in I} T_1- ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Επειδή T_1\subseteq T_2, η (U_i)_{i\in I} είναι και T_2 - ανοικτή κάλυψη του X\setminus K. Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I ώστε \displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}
????????????????
Τετριμμένη διόρθωση αλλά για κάτι τέτοια μας πάνε μέσα.
X\setminus K\subseteq \bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:25 pm

stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 13, 2020 4:51 pm
5) Έστω D^2=\{(x,y) : x^2+y^2 \leq 1\}, S^1=\{(x,y): x^2+y^2=1\} και x \in D^2.
Δείξτε ότι ο D^2/\{x\} είναι απλά συνεκτικός αν και μόνο αν x \in S^1.
Κανείς;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 15, 2020 10:39 pm

6) Έστω X ένας μετρικός χώρος.
Δείξτε ότι ο X είναι δεύτερος αριθμήσιμος αν και μόνο αν είναι διαχωρίσιμος.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 15, 2020 10:52 pm

7) Δείξτε ότι αν έχουμε μια συνάρτηση f:X \rightarrow Y που είναι ομοτοπική ισοδυναμία τότε ο επαγώμενος ομομορφισμός f_{*}: H_n(X) \rightarrow H_n(Y) είναι ισομορφισμός για κάθε n
Εδώ H_{n}(X) είναι η ομάδα ομολογίας του X τάξης n.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 15, 2020 11:00 pm

stranger έγραψε:
Κυρ Νοέμ 15, 2020 10:39 pm
6) Έστω X ένας μετρικός χώρος.
Δείξτε ότι ο X είναι δεύτερος αριθμήσιμος αν και μόνο αν είναι διαχωρίσιμος.
Ωραίο θεώρημα αλλά είναι στάνταρ θεωρία, και απλή, που υπάρχει σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Τοπολογίας. Την διδάσκονται όλοι
όσοι παρακολουθούν μαθήματα Τοπολογίας, οπότε δεν νομίζω ότι υπάρχει λόγος να ξαναγράψουμε τα χιλιογραμμένα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης