Κατασκευή τρίτη ... και τελευταία

Συντονιστής: matha

KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1991
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Κατασκευή τρίτη ... και τελευταία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Κυρ Οκτ 18, 2020 8:35 pm

Δίνεται το παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με πλευρές \displaystyle{AB=6}, \displaystyle{AD=3} και \displaystyle{\widehat{BAD}=60^o}.
Να εγγραφεί ρόμβος \displaystyle{KLMN} στο παραλληλόγραμμο αυτό, τέτοιος ώστε:

\displaystyle{ E(KLMN)=8}
Κατασκευή τρίτη...και τελευταία 1.png
Κατασκευή τρίτη...και τελευταία 1.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

Σημείωση:

Θεωρούμε ότι ένα πολύγωνο \displaystyle{(P_1)} είναι εγγεγραμμένο σε ένα άλλο \displaystyle{ (P_2)},

αν οι κορυφές του πρώτου ανήκουν στους φορείς των πλευρών του δεύτερου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5531
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή τρίτη ... και τελευταία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Οκτ 18, 2020 9:54 pm

KDORTSI έγραψε:
Κυρ Οκτ 18, 2020 8:35 pm
Δίνεται το παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με πλευρές \displaystyle{AB=6}, \displaystyle{AD=3} και \displaystyle{\widehat{BAD}=60^o}.
Να εγγραφεί ρόμβος \displaystyle{KLMN} στο παραλληλόγραμμο αυτό, τέτοιος ώστε:

\displaystyle{ E(KLMN)=8}

Κατασκευή τρίτη...και τελευταία 1.png

Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

Σημείωση:

Θεωρούμε ότι ένα πολύγωνο \displaystyle{(P_1)} είναι εγγεγραμμένο σε ένα άλλο \displaystyle{ (P_2)},

αν οι κορυφές του πρώτου ανήκουν στους φορείς των πλευρών του δεύτερου.
ΑΝΑΛΥΣΗ:

Αρκεί να κατασκευάσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο OKN δοθέντος εμβαδού k^2 (εν τάξει το γενικεύσαμε από 2 σε k^2).
Αυτό το τρίγωνο είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο OFK, άρα \displaystyle{\frac{{KF \cdot d}}{2} = {k^2} \Rightarrow KF = \frac{{2{k^2}}}{d},}
οπότε το KF είναι σταθερού μήκους και διεύθυνσης. Θεωρούμε λοιπόν \displaystyle{\overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {KF} ,} και έτσι ορίζεται το σταθερό σημείο E.
Επειδή \angle ENO είναι ορθή, το σημείο N προσδιορίζεται ως τομή του κύκλου c με διάμετρο OE, και της πλευράς AD.
ΚΑΤΑΣΚ.png
ΚΑΤΑΣΚ.png (23.51 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9796
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τρίτη ... και τελευταία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 19, 2020 11:31 am

Δεν είναι ακριβώς κατασκευή, αλλά υπολογισμός. Αρκεί να εντοπίσω μία από τις κορυφές του ρόμβου π.χ την K.

Θα υπολογίσω λοιπόν το AK=x.
Κατασκευή-3.png
Κατασκευή-3.png (16.43 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα AKN, BKL βρίσκω \boxed{9x-12y+2xy-27=0} (1)

\displaystyle (AKN) + (BKL) = \frac{{(ABCD)}}{2} - 4 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(3x + 6y - 2xy)\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2} - 4} (2)

Από τις σχέσεις (1),(2) παίρνω \boxed{x = \frac{1}{{36}}\left( {135 - 8\sqrt 3  \pm \sqrt {3(432\sqrt 3  - 665)} } \right)}


To πρόβλημα έχει δύο λύσεις. Η τιμή με το (+) επαληθεύει το σχήμα. Η τιμή με το (-) δίνει το N στην προέκταση του AD.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5531
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή τρίτη ... και τελευταία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Οκτ 20, 2020 1:23 pm

Ας μου επιτραπεί καταρχάς να τοποθετήσω το σχήμα για την επίλυση με την Αρίστη μέθοδο της μέσω Aντιστροφής στόχευση της κατασκευής (αρκεί βέβαια να την γνωρίζει την μέθοδο αυτή ο χειριστής της πολύ καλά, άλλως ... ), για να επανέλθω αργότερα για την ΑΝΑΛΥΣΗ.
ΚΑΤΑΣΚ.png
ΚΑΤΑΣΚ.png (31.18 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Τετ Οκτ 21, 2020 10:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή τρίτη ... και τελευταία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 20, 2020 6:45 pm

Επειδή το γινόμενο OK \cdot OL = 4 αντιστρέφω την ευθείαAB με πόλο το O

( το σταθερό σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου )

και δύναμη αντιστροφής \boxed{{k^2} = 4} και προκύπτει κύκλος {C_1} που διέρχεται από το O. ( Ο κύκλος αντιστροφής , ροζέ, έχει ως γνωστό ακτίνα k = 2) .
Κατασκευή τρίτη και τέλος.png
Κατασκευή τρίτη και τέλος.png (43.75 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Στρέφω τώρα τον {C_1} κατά 90^\circ με κέντρο πάλι το O και προκύπτει άλλος ίσος

κύκλος , {C_2} που τέμνει την πλευρά BC στο L. Φέρνω την LO και τέμνει τηνAD

στο N και μετά την κάθετη στο O επί την LN και τέμνει τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M.

Επειδή η στροφή γίνεται με θετική ή αρνητική φορά προκύπτουν δύο λύσεις .
Συνημμένα
τρίτη και τέρμα.ggb
(35.95 KiB) Μεταφορτώθηκε 2 φορές


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5531
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή τρίτη ... και τελευταία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Οκτ 21, 2020 9:15 am

KDORTSI έγραψε:
Κυρ Οκτ 18, 2020 8:35 pm
Δίνεται το παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με πλευρές \displaystyle{AB=6}, \displaystyle{AD=3} και \displaystyle{\widehat{BAD}=60^o}.
Να εγγραφεί ρόμβος \displaystyle{KLMN} στο παραλληλόγραμμο αυτό, τέτοιος ώστε:

\displaystyle{ E(KLMN)=8}
Καλημέρα Καλημέρα στους Άριστους Κώστα και Νίκο.
Επανέρχομαι για την ΑΝΑΛΥΣΗ για την δεύτερη ημέτερη διαπραγμάτευση του όμορφου αυτού θέματος, που ως γνωστόν η Ανάλυση είναι το λίαν απαραίτητο βήμα για την επίλυση σε κάθε Μαθηματικό πρόβλημα (ώστε εκτός των άλλων να απαντούμε στο νοερό βασικό ερώτημα: πώς το σκέφτηκες;),
πολλώ δε μάλλον στις επιλύσεις προβλημάτων Γεωμετρικών κατασκευών.

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Θέλουμε ορθογώνιο (στην κορυφή O) τρίγωνο OKN εμβαδού 2. Οπότε θέλουμε OK \cdot ON = 4. Στην ημιευθεία ON θεωρούμε σημείο H, ώστε OH = OK και \overrightarrow {OH}  \cdot \overrightarrow {ON}  = OH\cdot ON=4.
Καταρχάς άμεσα έχουμε ότι το τρίγωνο OHK είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Το σημείο Z του σχήματος,
που είναι τομή του περιγεγραμμένου κύκλου c στο τρίγωνο OHK με την AB, είναι σταθερό αφού \angle KZO = {45^ \circ }.
Επομένως είναι κατασκευάσιμη και η κάθετη στην AB ημιευθεία Zh, άρα και η κάθετη OS σε αυτήν, επί της οποίας κατασκευάζουμε το σημείο L, τέτοιο ώστε \overrightarrow {OS}  \cdot \overrightarrow {OL}  = \overrightarrow {OH}  \cdot \overrightarrow {ON}  = 4.
Αυτό οδηγεί στο ότι το σημείο L είναι απόλυτα κατασκευάσιμο. Η τομή της περιφέρειας q με διάμετρο LO τέμνει την AD
στο σημείο N και έτσι το N προσδιορίζεται πλήρως. Στην συνέχεια προσδιορίζεται το σημείο K, άρα και ο ζητούμενος ρόμβος.

(*) Χρησιμοποιήσαμε ότι κάθε ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές του ίσες σε συνδυασμό με την γνωστή πρόταση:
Κάθε παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε άλλο παραλληλόγραμμο έχει με αυτό το ίδιο κέντρο.
ΚΑΤΑΣΚ.png
ΚΑΤΑΣΚ.png (31.49 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες