Σφαίρα

#1

Στο επίπεδο Oxy

δίνεται ο κύκλος κέντρου (6,3,0)

και ακτίνας

Να βρεθεί η σφαίρα που διέρχεται από αυτόν τον κύκλο και εφάπτεται στο επίπεδο 3x+2y+4z-1=0.

#2

socrates έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 25, 2020 11:38 pm
Στο επίπεδο δίνεται ο κύκλος κέντρου και ακτίνας Να βρεθεί η σφαίρα που διέρχεται από αυτόν τον κύκλο και εφάπτεται στο επίπεδο

Θανάση καλημέρα από Γρεβενά....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κατασκευή σφαίρας 1.png (27.96 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Αν $\displaystyle{O(6,3,x)}$ είναι το ζητούμενο κέντρο της σφαίρας αυτής τότε θα πρέπει:

$\displaystyle{OM_1=d(O,e) \ \ (1)}$

όπου στην (1) το σημείο $\displaystyle{M_1=(2,0,0)}$ είναι ένα από τα δύο σημεία τομής του δοσμένου κύκλου με τον
άξονα $\displaystyle{Ox}$ (Το άλλο είναι το $\displaystyle{M_2=(10,0,0)}$ ) και $\displaystyle{d(O,e)}$ η απόσταση του κέντρου της ζητούμενης
σφαίρας από το επίπεδο $\displaystyle{e}$ .

Έτσι είναι:

$\displaystyle{OM_1=\sqrt{(6-2)^2+3^2+x^2}=\sqrt{x^2+25} \ \ (2)}$

και

$\displaystyle{d(O,e)=\frac{\left|{3\cdot6+2\cdot3+4\cdot x-1\right |}}{\sqrt{3^2+2^2+4^2}} \ \ (3)}$

Από τις (2) και (3) η εξίσωση(1) δίνει δυο λύσεις, τις ακόλουθες:

$\displaystyle{x_1=\frac{-2\sqrt{1479}+92}{13}, \ \ x_2=\frac{2\sqrt{1479}+92}{13} \ \ (4)}$

Οι ρίζες αυτές προσεγγιστικά και με δυο δεκαδικά ψηφία είναι:

$\displaystyle{x_1\approx 1.16, \ \ x_2\approx 12.99 \ \ (5)}$

Σύμφωνα με τις τιμές αυτές και με τη βοήθεια λογισμικού (αν και κατασκευάζεται και γεωμετρικά)
προκύπτει η κατασκευή των κέντρων και συνεπώς των σφαιρών αυτών, όπως φαίνεται στο επόμενο
σχήμα:

: Κατασκευή σφαίρας 2.png (68.73 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Σημείωση:
Το ενδιαφέρον στο πρόβλημα αυτό είναι ότι αποτελεί μια γενίκευση στο χώρο του τρίτου προβλήματος του Απολλωνίου,
δηλαδή:
"Να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από δύο δοσμένα σημεία και να εφάπτεται δοθείσης ευθείας"

Κώστας Δόρτσιος

Σφαίρα

Σφαίρα

Re: Σφαίρα

Μέλη σε σύνδεση