Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

#1

'Εστω

ένας Ευκλείδειος χώρος και

,

δύο διάφορες ευθείες του.
'Εστω

το σύνολο των αποστάσεων των σημείων της

από την

.
Να αποδειχθεί ότι οι

,

είναι παράλληλες αν και μόνο αν το

είναι φραγμένο.

S.E.Louridas · #2

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 10:00 pm
'Εστω ένας Ευκλείδειος χώρος και , δύο διάφορες ευθείες του.
'Εστω το σύνολο των αποστάσεων των σημείων της από την .
Να αποδειχθεί ότι οι , είναι παράλληλες αν και μόνο αν το είναι φραγμένο.

Καλημέρα Νίκο με μία Ευκλείδεια προσπάθεια, αφού ας πούμε ότι λόγω της Ευκλείδειας διαδικασίας που επέλεξα, μου άρεσε να μπω στην διαδικασία μιας διερευνητικής Μαθηματικής μεθόδου σκέψης βασιζόμενος στην όμορφη αυτή πρόταση που μας πρότεινες με τις πολύ καλές θεωρητικές της, αλλά και κατασκευαστικές της προεκτάσεις. Με χαρά λοιπόν που ο Νίκος με έβαλε στο περιβάλλον αυτό. Μερικές φορές αυτού του είδους τα θέματα τα χρειαζόμαστε για την δική μας προπόνηση, εμείς που υπάρχει κίνδυνος να παρασυρθούμε από την διαδικασία στο να προσπαθούμε μόνο να διδάσκουμε να μοιάσουμε τελικά .... στο τέρας, όπως ακριβώς έλεγε ο Μάνος Χατζηδάκης.

Θα θεωρήσουμε ότι $\left( a \right)\parallel \left( b \right) \Leftrightarrow \left\{ {\left[ {\left( a \right) \equiv \left( b \right)} \right] \vee \left[ {\left( a \right) \cap \left( b \right)} \right] = \emptyset } \right\}\,.$
Καταρχάς αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε, το σύνολο

είναι μονοσύνολο, άρα φραγμένο.
Έστω τώρα ότι το σύνολο

είναι φραγμένο και οι (a), (b)

δεν είναι παράλληλες, δηλαδή είναι ασύμβατες ή τέμνονται. Τότε, θα υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα μήκους

τέτοιο που $\left( {\forall x \in D} \right) \Rightarrow \left( {x \leqslant k} \right)\,\;\left( 1 \right).$ Αν θεωρήσουμε σημείο

της

που απέχει από την (b)

απόσταση

, θα έχουμε FL = k,

αν $FL \bot \left( b \right).$ Από το σημείο

θεωρούμε διερχόμενη ευθεία $\left( c \right)$ παράλληλη στην $\left( a \right)$ και έτσι ορίζουμε επίπεδο $\left( Q \right)$ που διέρχεται από την $\left( b \right)$ παράλληλο στην ευθεία $\left( a \right).$ Αν τώρα από σημείο $S \ne T$ θεωρήσουμε $ST\parallel FL,\;T \in \left( Q \right)$ , τότε $T \notin \left( b \right).$ Έτσι μπορούμε να πιστοποιήσουμε ότι υπάρχει $SR \bot \left( b \right),$ με SR > ST

ή

πράγμα άτοπο από την $\left( 1 \right).$

Απλά να πληροφορήσω ότι τα σχήματα στον χώρο που ακολουθούν, είναι ... "χειροκίνητα".

: stereo.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 1172 φορές

Εδώ στηριχτήκαμε σε δύο προτάσεις:
1η πρόταση:
Έστω δύο ασύμβατες ευθείες $\left( {{e_1}} \right),\;\left( {{e_2}} \right).$ Τότε υπάρχει σημείο

της $\left( {{e_1}} \right)$ που απέχει από την $\left( {{e_2}} \right)$ δοθείσα απόσταση

Πράγματι αν θεωρήσουμε

την απόσταση της κοινής καθέτου τους $KO,\;\,K \in {e_1},\;O \in {e_2}$ , τότε, θεωρούμε $Oe_1{'}$ την παράλληλη στην ${e_1}$ που ορίζει με την ${e_2}$ παράλληλο επίπεδο $\left( V \right)$ προς την $\left( {{e_1}} \right).$ Θεωρούμε τώρα σημείο $N \in e_1{'},$ τέτοιο πού $NL = \sqrt {{k^2} - {e^2}} ,$ αν $L \in {e_2},\;NL \bot {e_2}.$ Προφανώς ισχύει $k \geqslant e.$ Αν τώρα από το

υψώσουμε κάθετη στο $\left( V \right)$ θα έχουμε το ζητούμενο σημείο

: στερεο1.png (21.68 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

2η πρόταση:
Έστω δύο ασύμβατες ευθείες $\left( a \right),\;\left( b \right)$ και σημεία $F \in \left( a \right),\;L \in \left( b \right)$ τέτοια που $FL = k,\,\;k\,{\text{\delta o\theta \varepsilon \nu }}$ και $FL \bot \left( b \right).$ Τότε θα υπάρχουν σημεία $S \in \left( a \right),\;R \in \left( b \right),$ τέτοια που $SR \bot \left( b \right)\;{\text{\kappa \alpha \iota }}\;SR > k.$ Πράγματι αν θεωρήσουμε επίπεδο $\left( Q \right)$ τέτοιο ώστε $\left( a \right)\parallel \left( Q \right),\;\left( b \right) \in \left( Q \right)$ , τότε στο επίπεδο αυτό θεωρούμε ευθεία $Ly \bot \left( b \right).$ Το επίπεδο $\left( {LF,Ly} \right)$ είναι κάθετο στην ευθεία $\left( b \right).$ Επί της ημιευθείας

θεωρούμε το σημείο $J\,:\;FJ > k.$ Αν

ευθεία παράλληλη στην $\left( a \right)$ , τότε, $Lc \in \left( Q \right).$ Με μία λοιπόν παράλληλη μετατόπιση του

, προς τον εαυτό του, με «οδηγό» την ευθεία $\left( a \right)$ έως την θέση

παίρνουμε

: stereo 2.png (19.57 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές

Επανέρχομαι για να αναφερθώ στη περίπτωση που οι ευθείες είναι τεμνόμενες και μη ταυτιζόμενες (μου το επεσήμανε και ο φίλος και άριστος Μαθηματικός Σταύρος Παπαδόπουλος που τον ευχαριστώ δημοσίως για αυτό), καθότι είναι γνωστό ότι η άρνηση της : «Δύο Ευθείες στο χώρο είναι παράλληλες» είναι η «Δύο ευθείες στον χώρο (είναι ασύμβατες) ή (τεμνόμενες και μη ταυτιζόμενες)». Στην περίπτωση αυτή, όπου οι e_1 , e_2

είναι τεμνόμενες σε σημείο

και μη ταυτιζόμενες, η απόδειξη είναι πολύ απλή. Δηλαδή σαφώς και δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα

μέτρου

με $F \in {e_1},\;L \in {e_2},\,\;FL \bot {e_2}$ που να είναι φράγμα, αφού η κλάση των υποτεινουσών των όμοιων ορθογώνιων τριγώνων προς το τρίγωνο ZFL

, όπως ορίζονται εδώ είναι προφανώς σύνολο μη φραγμένο.
(*) Ο λόγος βέβαια που δεν το συμπεριέλαβα είναι επειδή πληκτρολογούσα ταυτόχρονα με τις σκέψεις μου και με συνεπήρε η όμορφη πλοκή της όλης σύλληψης του Νίκου και … αφαιρέθηκα. Ζητώ συγγνώμη.
(**) Μετά την πρώτη αυτή από μέρους μου διαπραγμάτευση θα ασχοληθώ με την περίπτωση άλλου τύπου επίλυσης μέσω Διανυσματικής Ανάλυσης. … Ίδωμεν.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Να αναφέρω ότι ενώ ο φίλος Σωτήρης έκανε την απόδειξη στον $\mathbb{R}^{3}$
αυτή η απόδειξη περνάει και στην γενική περίπτωση.
Είναι εύκολο να το δούμε ως εξής:
Κάνοντας μια μεταφορά μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μία ευθεία περνάει από το

του χώρου.
Αν πάρουμε τον μικρότερο υπόχωρο του χώρου που περιέχει τις δύο ευθείες τότε
αυτός έχει διάσταση το πολύ

.
Τότε όμως είναι ισόμορφος με ένα υπόχωρο του $\mathbb{R}^{3}$
οπότε αρκεί να το αποδείξουμε στον $\mathbb{R}^{3}$

S.E.Louridas · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 08, 2020 7:17 pm
Να αναφέρω ότι ενώ ο φίλος Σωτήρης έκανε την απόδειξη στον $\mathbb{R}^{3}$
αυτή η απόδειξη περνάει και στην γενική περίπτωση.
Είναι εύκολο να το δούμε ως εξής:
Κάνοντας μια μεταφορά μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μία ευθεία περνάει από το του χώρου.
Αν πάρουμε τον μικρότερο υπόχωρο του χώρου που περιέχει τις δύο ευθείες τότε
αυτός έχει διάσταση το πολύ .
Τότε όμως είναι ισόμορφος με ένα υπόχωρο του $\mathbb{R}^{3}$
οπότε αρκεί να το αποδείξουμε στον $\mathbb{R}^{3}$

Απολύτως ΝΑΙ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Για να δούμε την λύση του Σωτήρη με άλλη διατύπωση.
Θα δείξουμε ότι αν οι ευθείες δεν είναι παράλληλες τότε η απόσταση σημείου της (a)

από την

μπορεί να γίνει όσο μεγάλη θέλουμε.
Αν οι ευθείες τέμνονται τότε αυτό είναι εύκολο να δειχθεί.
Εστω ότι είναι ασύμβατες.
Εστω

στην

,

στην

ώστε η

να είναι η κοινή κάθετος.
Στο επίπεδο που είναι κάθετο στην

και περιέχει την (b)

φέρουμε ευθεία (a')

που περνάει από το

και είναι παράλληλη στην (a)

.
Εστω

σημείο της (a)

και

της

ώστε η

να είναι κάθετη στην (b)

Αν από το

φέρουμε την κάθετη στο επίπεδο που είναι κάθετο στην

και περιέχει την (b)

τότε αυτή τέμνει την (a')

στο

Από θεώρημα τριών καθέτων η

είναι κάθετη στην (b)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι

Όταν το

κινείται στην (a)

το

κινείται στην (a')

και διατρέχει όλα τα σημεία της.
Επειδή η απόσταση σημείων της (a')

από την

δεν είναι φραγμένη, λόγω της AB>CB

και η απόσταση των σημείων της (a)

από την

δεν είναι φραγμένη .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 10:00 pm
'Εστω ένας Ευκλείδειος χώρος και , δύο διάφορες ευθείες του.
'Εστω το σύνολο των αποστάσεων των σημείων της από την .
Να αποδειχθεί ότι οι , είναι παράλληλες αν και μόνο αν το είναι φραγμένο.

Η ιδιότητα δεν χαρακτηρίζει τους Ευκλείδειους χώρους.
Ισχύει σε οποιανδήποτε χώρο με νόρμα.

Συγκεκριμένα

'Εστω

ένας χώρος με νόρμα και

,

δύο διάφορες ευθείες του.
'Εστω

το σύνολο των αποστάσεων των σημείων της

από την

.
Να αποδειχθεί ότι οι

,

είναι παράλληλες αν και μόνο αν το

είναι φραγμένο.

#7

Γεια σας. Σωτήρη, Σταύρο σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.
Γράφω την απάντηση που είχα υπ' όψιν για το αρχικό ερώτημα.
Ας υποθέσουμε ότι οι δύο ευθείες είναι οι $\left\{ \alpha +\lambda b|\lambda \in \mathbb{R}\right\}$ , $\left\{ \gamma +\lambda \delta |\lambda \in \mathbb{R}\right\}$ όπου $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in V$ .
Η προβολή του τυχόντος σημείου

του

στην ευθεία

είναι $\gamma +\frac{\left( x-\gamma \right) \delta }{\delta ^{2}}\delta$ και επομένως η απόσταση του τυχόντος σημείου $\alpha +\lambda \beta$ της

από την

είναι
$d\left( \lambda \right) =\left\| \alpha +\lambda \beta -\gamma -\frac{\left( \alpha +\lambda \beta -\gamma \right) \delta }{\delta ^{2}}\delta \right\|$
Αν υποτεθεί ότι το σύνολο των αποστάσεων είναι φραγμένο δηλαδή ότι $d\left( \lambda \right) \leq M$ για όλα τα $\lambda$ τότε για $\lambda>0$ :
$\left\| \frac{\alpha -\gamma }{\lambda }+\beta -\frac{\left( \frac{\alpha -\gamma }{\lambda }+\beta \right) \delta }{\delta ^{2}}\delta \right\| \leq \frac{M}{\lambda }$
και επομένως για $\lambda \rightarrow +\infty$ είναι $\frac{\alpha -\gamma }{\lambda }+\beta -\frac{\left( \frac{\alpha -\gamma }{\lambda }+\beta \right) \delta }{\delta ^{2}}\delta \rightarrow 0\in V$ που σημαίνει ότι $\beta -\frac{\left( \frac{\alpha -\gamma }{\lambda }+\beta \right) \delta }{\delta ^{2}}\delta \rightarrow 0$ . Τότε $\beta -\frac{\beta \delta }{\delta ^{2}}\delta =0$ και τα $\beta$ , $\delta$ είναι συγγραμμικά άρα οι ευθείες είναι παράλληλες.
Το αντίστροφο αποδεικνύεται εύκολα.

Φυσικά όπως επεσήμανε ο Σταύρος το πρόβλημα κατ΄ουσίαν είναι τριδιάστατο οπότε η λύση του Σωτήρη εφαρμόζεται άμεσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 09, 2020 10:14 am
...
Η ιδιότητα δεν χαρακτηρίζει τους Ευκλείδειους χώρους.
Ισχύει σε οποιανδήποτε χώρο με νόρμα.

Συγκεκριμένα

'Εστω ένας χώρος με νόρμα και , δύο διάφορες ευθείες του.
'Εστω το σύνολο των αποστάσεων των σημείων της από την .
Να αποδειχθεί ότι οι , είναι παράλληλες αν και μόνο αν το είναι φραγμένο.

Πράγματι αυτό ισχύει μόνο που θα χρειαστεί να παραιτηθούμε των ευκολιών της καθετότητας και των προβολών και να δουλέψουμε με αποστάσεις.
Υποθέτουμε λοιπόν ότι δουλεύουμε σε χώρο με νόρμα. Η απόσταση του τυχόντος σημείου $\alpha +\lambda \beta$ της

από την

είναι το infimum των αποστάσεων του $\alpha +\lambda \beta$ από τα σημεία της

. Επειδή η

είναι γραμμική πολλαπλότητα πεπερασμένης διάστασης (αντικατέστησα την αρχική διατύπωση "κλειστό σύνολο": Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο για τη επισήμανση) η απόσταση αυτή υλοποιείται δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο $\gamma +\varphi \left( \lambda \right) \delta$ της

ώστε η απόσταση των $\alpha +\lambda \beta$ και $\gamma +\varphi \left( \lambda \right) \delta$ να είναι η απόσταση του $\alpha +\lambda \beta$ από την

. H συνάρτηση $\lambda \rightarrow \varphi \left( \lambda \right)$ μπορεί να οριστεί με το αξίωμα της επιλογής. Ας υποθέσουμε όπως πριν ότι το σύνολο των αποστάσεων
$d\left( \lambda \right) =\left\| \alpha +\lambda \beta -\gamma -\varphi \left( \lambda \right) \delta \right\|$ είναι φραγμένο από το

. Τ'οτε βρίσκουμε ότι για $\lambda>0$ είναι $\left\| \frac{\alpha -\gamma }{\lambda }+\beta -\frac{\varphi \left( \lambda \right) }{\lambda }\delta \right\| \leq \frac{M}{\lambda }$ και ότι για $\lambda \rightarrow +\infty$ ισχύει $\frac{\varphi \left( \lambda \right) }{\lambda }\delta \rightarrow \beta$ .
Αλλά το $\frac{\varphi \left( \lambda \right) }{\lambda }\delta$ ανήκει στην ευθεία $0+m\delta$ που είναι κλειστό σύνολο άρα συγκλίνει σε κάποιο $\kappa \delta$ . Επομένως $\beta =\kappa \delta$ και οι ευθείες

,

είναι παράλληλες.
Το αντίστροφο νομίζω ότι και πάλι είναι απλό.

Edit 11/8/20 12:12 Διόρθωση

Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Re: Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Re: Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Re: Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Re: Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Re: Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Re: Κριτήριο Παραλληλίας Ευθειών

Μέλη σε σύνδεση