Σωληνοειδής επιφάνεια
Συντονιστής: matha
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Σωληνοειδής επιφάνεια
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Στο ερώτημα
να συμπληρώσω ότι ζητείται το εμβαδόν με απλό τρόπο, χωρίς να κάνουμε ολοκλήρωση. Ίσως αυτό έχει κατά νου ο Γρηγόρης...
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Γρηγόρη καλημέρα και Χρόνια Πολλά από τα Γρεβενά...grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
Πριν αναφέρω το τρόπο εύρεσης της παραμετρικής εξίσωσης της επιφάνειας αυτής, αναρτώ
το αποτέλεσμά της:
Στο σχήμα αυτό φαίνεται ακόμα και το τρίεδρο Frenet.
Για να δείτε την εξέλιξή του, καθώς και το εσωτερικό του, μπορείτε να
επισκεφτείτε το συνημμένο αρχείο.
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
(Συνέχεια...)grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
Καλησπέρα...
Για την αναζήτηση της παραμετρικής μορφής της σωληνοειδούς αυτής επιφάνειας εργαζόμαστε στο
ακόλουθο σχήμα:
Έστω τυχαίο σημείο του κύκλου .
Το σημείο αυτό βέβαια θα ανήκει και στην επιφάνεια του σωληνοειδούς.
Επειδή το σημείο είναι ένα τυχαίο σημείο της έλικας, τότε στο σημείο αυτό θεωρούμε,
όπως φαίνεται και στο σχήμα, το τρίεδρο Frenet:
όπου τα διανύσματα είναι μοναδιαία και είναι αντίστοιχα
το εφαπτομενικό, η πρώτη κάθετος και η δεύτερη κάθετος της έλικας.
Τότε, όπως φαίνεται και από το σχήμα, θα είναι:
Όμως είναι:
όπου η γωνία είναι η γωνία που σχηματίζει το τμήμα με το διάνυσμα της πρώτης καθέτου.
Εξάλλου είναι:
Επίσης είναι γνωστό ότι για την πρώτη και δεύτερη κάθετο ισχύει:
Τελικά η σχέση (1) σύμφωνα με τις (2),(3),(4) και (5) δίνει:
Η εξίσωση (6) είναι η παραμετρική εξίσωση του σωληνοειδούς αυτού, όπου βέβαια είναι:
Σημειώσεις:
1η) Οι μορφές των διανυσμάτων στις σχέσεις (3),(4) και (5) είναι γραμμένες, για συντομία χώρου, ως πίνακες - γραμμή, ενώ
η τελική σχέση (6) γράφηκε ως πίνακας - στήλη.
2η) Με τη βοήθεια της μορφής (6) σχεδιάστηκε το δυναμικό σχήμα της προηγούμενης ανάρτησης.
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Το πρόβλημα είναι αν υπάρχει τέτοια επιφάνεια.grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
helicoid_surf.png
Δηλαδή οι κύκλοι να μην τέμνονται.
Είναι σαφές ότι αν το είναι ''μεγάλο'' υπάρχει πρόβλημα.
Θα φανεί και από την απόδειξη που θα κάνω παρακάτω.
Νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη της επιφάνειας για ''μικρό''
αλλά θα έχει πολύ φασαρία.
Η καμπύλη που είναι οδηγός της επιφάνειας μπορεί να είναι οποιαδήποτε .
Τότε το πόσο μεγάλο μπορούμε να πάρουμε το έχει σχέση με την καμπυλότητα
της καμπύλης.
Θα γενικεύσω το πρόβλημα στο εξής
Θεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την καμπύλη με
παραμετρισμένη ως προς μήκος τόξου,
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
(Το είναι ένα πεπερασμένο διάστημα των πραγματικών)
Προσοχή.Υποθέτω ότι το είναι τέτοιο ώστε οι κύκλοι δεν τέμνονται.
Το εμβαδό της επιφάνειας είναι
είναι το μήκος της καμπύλης.Υπολογίζεται χωρίζοντας σε μικρά κομμάτια και υπολογίζοντας
τα παράπλευρα εμβαδά κυλίνδρων.
Αν με είναι το εφαπτόμενο ,πρώτο κάθετο ,δεύτερο κάθετο της καμπύλης στο
τότε ο κύκλος βρίσκεται στο επίπεδο που ορίζουν τα μετατοπισμένος στο .
Ετσι μια παραμέτριση της επιφάνειας εκτός μιας καμπύλης της θα είναι
οπου είναι τα εσωτερικά σημεία του
Εχουμε
(1)
(2)
Αν και είναι η καμπυλότητα και η στρέψη της καμπύλης τότε
με τους γνωστούς τύπους η (2) γίνεται
Ετσι τα θεμελειώδη μεγέθη της πρώτης μορφής είναι
Ετσι παίρνουμε
(3)
παρατηρήσεις.
1)Εχουμε εξαφάνιση του
2)Ως γνωστόν πρέπει να είναι
Βλέπουμε ότι για να ισχύει αυτό πρέπει .
Ως γνωστόν το εμβαδό της επιφανείας θα είναι
Λόγω της (3) και της είναι
Ετσι το εμβαδό είναι
που επιβεβαιώνει τον υπολογισμό χωρίζοντας.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Αυτό που είχα κατά νου είναι η πολύ γενικότερη περίπτωση που παρουσίασε ο Σταύρος στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση. Να σημειωθεί ότι πρόκειται για σημαντική γενίκευση αφού η διευθετούσα μπορεί να είναι οποιαδήποτε κανονική καμπύλη για την οποία πρέπει να ισχύει , όπου η καμπυλότητα της αν έχουμε μια φυσική παραμετρικοποίησή της.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 10:49 pm...να συμπληρώσω ότι ζητείται το εμβαδόν με απλό τρόπο, χωρίς να κάνουμε ολοκλήρωση. Ίσως αυτό έχει κατά νου ο Γρηγόρης...
Βέβαια στην περίπτωση που η διευθετούσα είναι έλικα, ο υπολογισμός του εμβαδού της σωληνοειδούς επιφάνειας χωρίς ολοκλήρωση έχει το δικό της ενδιαφέρον. Όπως και η αναλυτική προσέγγιση της εύρεσης της παραμετρικής παράστασης που έδωσε ο Κώστας.
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Καλημέρα από Γρεβενά ...ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Απρ 25, 2020 11:15 pmΤο πρόβλημα είναι αν υπάρχει τέτοια επιφάνεια.grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
helicoid_surf.png
Δηλαδή οι κύκλοι να μην τέμνονται.(1)
Είναι σαφές ότι αν το είναι ''μεγάλο'' υπάρχει πρόβλημα.
Θα φανεί και από την απόδειξη που θα κάνω παρακάτω.
Νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη της επιφάνειας για ''μικρό''
αλλά θα έχει πολύ φασαρία.
Η καμπύλη που είναι οδηγός της επιφάνειας μπορεί να είναι οποιαδήποτε .(2)
Τότε το πόσο μεγάλο μπορούμε να πάρουμε το έχει σχέση με την καμπυλότητα
της καμπύλης.
........................................................
Για την παρατήρηση (1) :
Δηλαδή θα αποκλείαμε(;) από την έννοια του "σωληνοειδούς" και την περίπτωση που δείχνει το σχήμα:
Στο σχήμα αυτό η γωνία κινήθηκε στο διάστημα και η γενέτειρα γραμμή της
επιφάνειας αυτής είναι κύκλος με ακτίνα τέτοια ώστε η παραγόμενη επιφάνεια δημιουργεί
"αλληλοτομές" που τις βλέπουμε στο σχήμα αυτό.( Αυτό που λέει η φράση (1), αν και ο κύκλος
που "γεννάει" το σωληνοειδές αυτό είναι ένας και δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό του. Ίσως βέβαια η
έκφραση να θέλει να πει ότι τέμνονται τα ίχνη των κύκλων αυτών...)
Ασφαλώς και είναι μια ενδιαφέρουσα περίπτωση του γενικευμένου σωληνοειδούς που αξίζει μελέτη.
Εξάλλου τέτοιες επιφάνειες με ενδιαφέρουσες τοπολογικές ιδιότητες έχουν μελετηθεί,
όπως "η φιάλη του Klein" ή ακόμα "η επιφάνεια του Boy" η οποία φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:
Για την παρατήρηση (2):
Προφανώς. Αρκεί οι καμπύλες αυτές να είναι κανονικές.
Κι ακόμα:
Αντί του κύκλου αυτού που παράγει τα σωληνοειδή αυτά, μπορούμε να θεωρήσουμε τρίγωνα, τετράγωνα,
πολύγωνα(κυρτά ή μη κυρτά), ακόμα και ελλείψεις, καρδιοειδείς καμπύλες κλπ. Έτσι θα μπορούσαμε
να απολαύσουμε το μεγαλείο της φύσης! της φύσης που τα μαθηματικά προσπαθούν να ερμηνεύσουν!
Κώστας Δόρτσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Προφανώς είναι μια επιφάνεια, αλλά δεν είναι κανονική επιφάνεια -αφού το μηδενίζεται για κάποιες τιμές- και, επομένως, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την θεωρία που χρησιμοποίησε παραπάνω ο Σταύρος για να εξάγει το αποτέλεσμα.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Δεν έχω να συνεισφέρω κάτι στον εκπληκτικό αυτό διάλογο (εξάλλου δεν μπορώ) και στις λύσεις που δόθηκαν,
απλά θέλω να εκφράσω τον θαυμασμό μου για όσα έμαθα. Το Φόρουμ είναι ένα "Κέντρο μάθησης" ανοιχτό μέρα-νύχτα.
Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να αναρτήσω μια φωτογραφία κοχυλιού, η "εξέλιξη" του οποίου σχετίζεται έμμεσα με το θέμα της συζήτησης.
Σας ευχαριστώ πολύ.
απλά θέλω να εκφράσω τον θαυμασμό μου για όσα έμαθα. Το Φόρουμ είναι ένα "Κέντρο μάθησης" ανοιχτό μέρα-νύχτα.
Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να αναρτήσω μια φωτογραφία κοχυλιού, η "εξέλιξη" του οποίου σχετίζεται έμμεσα με το θέμα της συζήτησης.
Σας ευχαριστώ πολύ.
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Αντρέα καλησπέρα....Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑Δευ Απρ 27, 2020 11:42 amΔεν έχω να συνεισφέρω κάτι στον εκπληκτικό αυτό διάλογο (εξάλλου δεν μπορώ) και στις λύσεις που δόθηκαν,
απλά θέλω να εκφράσω τον θαυμασμό μου για όσα έμαθα. Το Φόρουμ είναι ένα "Κέντρο μάθησης" ανοιχτό μέρα-νύχτα.
Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να αναρτήσω μια φωτογραφία κοχυλιού, η "εξέλιξη" του οποίου σχετίζεται έμμεσα με το θέμα της συζήτησης.
Σας ευχαριστώ πολύ.
Πράγματι! Το μεγαλείο της φύσης! Κι απ' την άλλη μεριά τα Μαθηματικά!
Προσπάθησα να μιμηθώ κι εγώ τα κοχύλια αυτά..,
χωρίς όμως επιτυχία....
Όμως προσπάθησα...
Κώστας Δόρτσιος
(Συνεχίζεται...)
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Γρηγόρη γειά.grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 2:30 amΑυτό που είχα κατά νου είναι η πολύ γενικότερη περίπτωση που παρουσίασε ο Σταύρος στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση. Να σημειωθεί ότι πρόκειται για σημαντική γενίκευση αφού η διευθετούσα μπορεί να είναι οποιαδήποτε κανονική καμπύλη για την οποία πρέπει να ισχύει , όπου η καμπυλότητα της αν έχουμε μια φυσική παραμετρικοποίησή της.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 10:49 pm...να συμπληρώσω ότι ζητείται το εμβαδόν με απλό τρόπο, χωρίς να κάνουμε ολοκλήρωση. Ίσως αυτό έχει κατά νου ο Γρηγόρης...
Βέβαια στην περίπτωση που η διευθετούσα είναι έλικα, ο υπολογισμός του εμβαδού της σωληνοειδούς επιφάνειας χωρίς ολοκλήρωση έχει το δικό της ενδιαφέρον. Όπως και η αναλυτική προσέγγιση της εύρεσης της παραμετρικής παράστασης που έδωσε ο Κώστας.
Η συνθήκη δεν μας εξασφαλίζει ότι οι κύκλοι δεν τέμνονται.
Η συνθήκη μας εξασφαλίζει ότι έχουμε παραμετρική επιφάνεια.
Την σωληνοειδή παραμετρική επιφάνεια (tubular) χρησιμοποιεί ο
MANFREDO P.DO CARMO
στο
Differential Geometry of Curves and Surfaces
(κυκλοφορεί ελεύθερα στο ιντερνετ)
για να αποδείξει το θεώρημα του Fenchel.(σελ 399).
Εκεί σελ400 σαφώς αναφέρει ότι με αυτή την συνθήκη μπορεί οι κύκλοι να τέμνονται.
Με την ευκαιρία να διατυπώσω το θεώρημα του Fenchel το οποίο τώρα το έμαθα.
Αν
είναι μια κανονική κλειστή απλή καμπύλη με φυσική παράμετρο
τότε
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η καμπύλη είναι επίπεδη και κυρτή.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Κώστα γειά.KDORTSI έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 8:46 amΚαλημέρα από Γρεβενά ...ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Απρ 25, 2020 11:15 pmΤο πρόβλημα είναι αν υπάρχει τέτοια επιφάνεια.grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
helicoid_surf.png
Δηλαδή οι κύκλοι να μην τέμνονται.(1)
Είναι σαφές ότι αν το είναι ''μεγάλο'' υπάρχει πρόβλημα.
Θα φανεί και από την απόδειξη που θα κάνω παρακάτω.
Νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη της επιφάνειας για ''μικρό''
αλλά θα έχει πολύ φασαρία.
Η καμπύλη που είναι οδηγός της επιφάνειας μπορεί να είναι οποιαδήποτε .(2)
Τότε το πόσο μεγάλο μπορούμε να πάρουμε το έχει σχέση με την καμπυλότητα
της καμπύλης.
........................................................
Για την παρατήρηση (1) :
Δηλαδή θα αποκλείαμε(;) από την έννοια του "σωληνοειδούς" και την περίπτωση που δείχνει το σχήμα:
Σωληνοειδές 3.png
Στο σχήμα αυτό η γωνία κινήθηκε στο διάστημα και η γενέτειρα γραμμή της
επιφάνειας αυτής είναι κύκλος με ακτίνα τέτοια ώστε η παραγόμενη επιφάνεια δημιουργεί
"αλληλοτομές" που τις βλέπουμε στο σχήμα αυτό.( Αυτό που λέει η φράση (1), αν και ο κύκλος
που "γεννάει" το σωληνοειδές αυτό είναι ένας και δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό του. Ίσως βέβαια η
έκφραση να θέλει να πει ότι τέμνονται τα ίχνη των κύκλων αυτών...)
Ασφαλώς και είναι μια ενδιαφέρουσα περίπτωση του γενικευμένου σωληνοειδούς που αξίζει μελέτη.
Εξάλλου τέτοιες επιφάνειες με ενδιαφέρουσες τοπολογικές ιδιότητες έχουν μελετηθεί,
όπως "η φιάλη του Klein" ή ακόμα "η επιφάνεια του Boy" η οποία φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:
Επιφάνεια του Boy 1.png
Για την παρατήρηση (2):
Προφανώς. Αρκεί οι καμπύλες αυτές να είναι κανονικές.
Κι ακόμα:
Αντί του κύκλου αυτού που παράγει τα σωληνοειδή αυτά, μπορούμε να θεωρήσουμε τρίγωνα, τετράγωνα,
πολύγωνα(κυρτά ή μη κυρτά), ακόμα και ελλείψεις, καρδιοειδείς καμπύλες κλπ. Έτσι θα μπορούσαμε
να απολαύσουμε το μεγαλείο της φύσης! της φύσης που τα μαθηματικά προσπαθούν να ερμηνεύσουν!
Κώστας Δόρτσιος
Αυτό που υπάρχει στο 3 έχω την εντύπωση ότι δεν είναι επιφάνεια.
Εψαξα τους ορισμούς της επιφάνειας.
Με κανέναν από αυτούς που είδα δεν είναι.
Αν έχεις υπ οψιν σου κάποιον γράφτον.
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Απρ 28, 2020 1:40 pmΣταύρε γειά σου...KDORTSI έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 8:46 amΚώστα γειά.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Απρ 25, 2020 11:15 pm...................................grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
helicoid_surf.png
Κώστας Δόρτσιος
Αυτό που υπάρχει στο 3 έχω την εντύπωση ότι δεν είναι επιφάνεια.
Εψαξα τους ορισμούς της επιφάνειας.
Με κανέναν από αυτούς που είδα δεν είναι.
Αν έχεις υπ οψιν σου κάποιον γράφτον.
Το σχήμα 3 που ανάρτησα, θεωρώντας ακτίνα μεγάλη ώστε να προκύπτουν "τομές" κατά την εξέλιξή της,
πιστεύω ότι είναι μια επιφάνεια παραμετρικής μορφής η οποία βέβαια σχεδιάστηκε από τη σχέση (6) της
δεύτερης ανάρτησης που έβαλα.
Δεν είναι όμως κανονική, γιατί στα σημεία εκείνα των "τομών" δεν ορίζεται η κάθετος, όπως αναφέρει
και ο Γρηγόρης σε ένα από τα μηνύματά του.
Έτσι η επιφάνεια αυτή ανήκει στην κατηγορία εκείνη που ορίζονται με παραμετρικές εξισώσεις.
https://lescoursdemathsdepjh.monsite-or ... 213bff.pdf
Για να φανεί ίσως καλύτερα αυτό παραθέτω μια εικόνα:
Ίσως αυτό φανεί καλύτερα, όταν θα παραθέσω( ίσως αύριο) και το τελικό μου μήνυμα, όπου υπολογίζω το εμβαδόν
του αρχικού σωληνοειδούς όπου το αποτέλεσμά μου συμφωνεί με τη δικιά σου άποψη όταν μελετά το θέμα αυτό
γενικότερα.
Κώστας Δόρτσιος
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Καλησπέρα...grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
Υπολογισμός του εμβαδού της επιφάνειας .
Η παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας του σωληνοειδούς,
όπως υπολογίστηκε σε προηγούμενο μήνυμά μου με την αρίθμηση (6) είναι:
Από την (6) υπολογίζουμε τις ποσότητες:
Οι τύποι (7) είναι απλοί, αλλά αρκετά επίπονοι. Έτσι μετά από πράξεις που έκανα
με προσοχή αλλά και που επαλήθευσα με το λογισμκό Maple, καταλήγουμε:
Με τους τύπους (8) προκύπτει:
Έτσι το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής θα είναι:
Για την παράσταση εντός του απολύτου διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:
1ο) Αν τότε απορρίπτεται.
2ο) Αν τότε
Όμως το μήκος της έλικας που οδήγησε στη σωληνοειδή αυτή επιφάνεια έχει μήκος:
Άρα είναι:
Δηλαδή συμφωνεί με το γενικό τύπο που έδειξε ο Σταύρος.
Κώστας Δόρτσιος
(Συνεχίζεται...)
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Κώστα χαιρετώ.
Στο νούμερο 4 έχεις δύο τυπογραφικά.
Στο
Για να είναι κανονική πρέπει να μην μηδενίζεται η παράσταση μέσα στο απόλυτο .
Εχει σταθερό πρόσημο οπότε βάζοντας το βρίσκουμε.
Εδώ βέβαια μπορεί κάποιος να πάρει και τις δύο περιπτώσεις
να υπολογίσει το ολοκλήρωμα κάποιας ''επιφάνειας'' που δεν ξέρει τι είναι.
Τα εμβαδά υπάρχουν και στην περίπτωση που δεν είναι κανονική ,απλά τότε υπάρχει
πρόβλημα με την περιγραφή της ''επιφάνειας''
Στο νούμερο 4 έχεις δύο τυπογραφικά.
ενω είναι
Στο
Η δικαιολόγηση μπορεί να γίνει και ως εξής:
Για να είναι κανονική πρέπει να μην μηδενίζεται η παράσταση μέσα στο απόλυτο .
Εχει σταθερό πρόσημο οπότε βάζοντας το βρίσκουμε.
Εδώ βέβαια μπορεί κάποιος να πάρει και τις δύο περιπτώσεις
να υπολογίσει το ολοκλήρωμα κάποιας ''επιφάνειας'' που δεν ξέρει τι είναι.
Τα εμβαδά υπάρχουν και στην περίπτωση που δεν είναι κανονική ,απλά τότε υπάρχει
πρόβλημα με την περιγραφή της ''επιφάνειας''
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Γρηγόρη και Σταύρο καλησπέρα και καλό μήνα...grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
Κλείνοντας από τη μεριά μου το θέμα αυτό, θα αναρτήσω και την περίπτωση κατά την οποία το σωληνοειδές αυτό
παρουσιάζει μια "αυτοεπαφή".
Αρχικά η γραμμή, κατά την οποία θα υπάρχει αυτή η αυτοεπαφή, είναι μια έλικα, δηλαδή μια από τις
παραμετρικές καμπύλες που σχηματίζουν την επιφάνεια αυτή. Έτσι παρατηρώντας το πρώτο σχήμα έχουμε:
Η ακτίνα του κύκλου που δημιουργεί το σωληνοειδές θα έχει ακτίνα:
όπου:
1ο) το σημείο είναι το μέσο του τμήματος με τα άκρα της αρχικής έλικας.
2ο) η είναι η γωνία που σχηματίζει η με το επίπεδο του κύκλου αυτού.
Στη συνέχεια μετακινούμε κατά το διάνυσμα , την αρχική έλικα, ή καλύτερα, σχεδιάζοντας
την έλικα:
Έτσι βλέπουμε στο επόμενο σχήμα τα ίχνη του αρχικού κύκλου που διέρχονται όλα από την έλικα αυτή με ροζ χρώμα.
Τέλος στο τρίτο σχήμα βλέπουμε μια όψη από το σωληνοειδές αυτό που παρουσιάζει αυτήν την
αυτοεπαφή.
Κώστας Δόρτσιος
Re: Σωληνοειδής επιφάνεια
Γρηγόρη καλησπέρα...grigkost έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:06 amΘεωρούμε την σωληνοειδή επιφάνεια με διευθετούσα την έλικα
για την οποία, σε κάθε σημείο της , η τομή της με το κάθετο στην επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Να βρεθεί μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας και να υπολογισθεί το εμβαδόν της .
Παρόλο που είπα στο τελευταίο μου μήνυμα πως θα ήταν το τελευταίο, προχωρώ παραπέρα...
Εφόσον η επιφάνεια του σωληνοειοδούς αυτού είναι ίση με την επιφάνεια ενός κυλίνδρου με βάση ίση με
τον κύκλο που διαγράφει το σωληνοειδές αυτό και ύψος το μήκος του σωληνοειδούς προχώρησα στο
ακόλουθο σχήμα:
Στο σχήμα αυτό θεώρησα την εφαπτομένη της αρχικής έλικας στο αρχικό της σημείο και
πάνω σ' αυτήν πήρα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος ίσο με το μήκος της έλικας .
Στη συνέχεια κατασκεύασα ορθό κύλινδρο με ύψος το τμήμα και κύκλο τον .
Έτσι προέκυψε το σχήμα:
Στο σχήμα αυτό τα δύο αυτά στερεά έχουν ίσες τις κυρτές των επιφάνειες, όπως δείχθηκε σε
προηγούμενα μηνύματα.
Στον σύνδεσμο που ακολουθεί μπορείτε να δείτε και τη δυναμική μορφή του σχήματος αυτού.
Κώστας Δόρτσιος
(Συνεχίζεται...)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες