Πως το εξηγούμε;

Γιάννης Ι. · #1

Έστω μαθητής λυκείου κάνει το παρακάτω λάθος θέλοντας να υπολογίσει το εμβαδόν της σφαίρας :

«Καλύπτω τη σφαίρα με κύκλους (εννοόντας οτι θεωρεί τη φυλλωσιά - foliation - της σφαίρας με κύκλους και δυο κριτικά σημεία, τον Βόρειο και Νότιο πόλο) και ολοκληρώνω αλά Riemman τα μήκη των κύκλων αυτών»

1)Να δοθεί μια άλλη φυλλωσιά της σφαίρας τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα αλά Riemman των μηκών των φύλλων να είναι άπειρο
2)Να δοθεί πανεπιστημιακού επιπέδου εξήγηση του λάθους
3)Να δοθεί σχολικού επιπέδου εξήγηση του λάθους

stranger · #2

Το σωστό είναι να ολοκληρώσεις πάνω στο εμβαδόν των επιφανειών των σφαιρών με ακτίνα από το

έως το

, όπου

είναι η ακτίνα της σφαίρας.
Δηλαδή, χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες και γράφουμε
$|B(a,r)| = \int_{B(a,r)} 1 dx = \int_{0}^{r} \int_{\partial B(a.s)} 1 dH^2(x) ds =$
$= \int_{0}^{r} H^2(\partial B(a,s)) ds$ .
Όπου H^2

το μέτρο Haussdorf δυο διαστάσεων στον $\mathbb{R}^3$ .

Γιάννης Ι. · #3

Αγαπητέ Κωνσταντίνε,
σας ευχαριστώ πολύ για το ξεκίνημα. Ωστόσο, έχω την αίσθηση ότι υπήρξε μια παρεξήγηση σε σχέση με την εκφώνηση. Ο μαθητής της εκφώνησης προσπαθεί να υπολογίσει την επιφάνεια της σφαίρας κι όχι τον όγκο της μπάλας. Κρατάμε όμως πως για να υπολογίσουμε τον όγκο της μπάλας όπως σωστά αναφέρετε, το σκεπτικό του μαθητή είναι σωστό! Η ερώτηση όμως ακόμα είναι ανοικτή: πώς εξηγούμε αυτό το φαινόμενο σ'ένα φοιτητή πανεπιστημίου και πώς άραγε σε κάποιο μαθητή που προσπαθεί να υπολογίσει την επιφάνεια της σφαίρας όπως στην εκφώνηση;

stranger · #4

Ειλικρινά δεν ξέρω πως να το εξηγήσω αυτό και δεν ξέρω αν χρίζει εξήγησης. Η ιδέα αυτή του μαθητή μοιάζει σωστή διαισθητικά αλλά τα μαθηματικά έχουν άλλη άποψη. Πολλές φορές οι διαισθήσεις μας προδίδονται στα μαθηματικά όπως για παράδειγμα στο αξίωμα της επιλογής που αποδεικνύει την πρόταση ότι κάθε σύνολο είναι καλά διατάξιμο που διαισθητικά δεν στέκει πού καλά.
Ίσως να απαντήσει κάποιος άλλος που να μπορεί να βρει κάποια ικανοποιητική εξήγηση.
Παρόλαυτα, έχω να πω ότι αν ξέρουμε τον όγκο μιας μπάλας τότε παραγωγίζοντας μπορούμε να βρούμε την επιφάνεια της μπάλας.
Αυτό γιατι, όπως έγραψα και παραπάνω $|B(a,r)| = \int_{0}^{r} H^2(\partial B(a,s)) ds$ , οπότε αν παραγωγίσουμε ως προς

παίρνουμε $H^2(\partial B(a,r))= \frac{d |B(a,r)|}{dr}$ .
Ακολουθώντας αυτό το σκεπτικό έχω να πω ότι δεν είναι καθόλου τυχαίο που το εμβαδόν του κύκλου είναι $\pi r^2$ , η περιφέρεια του κύκλου είναι $2 \pi r$ και το ότι το $2 \pi r$ είναι η παράγωγος του $\pi r^2$ .

Πως το εξηγούμε;

Πως το εξηγούμε;

Re: Πως το εξηγούμε;

Re: Πως το εξηγούμε;

Re: Πως το εξηγούμε;

Μέλη σε σύνδεση