Όγκος στερεού

Συντονιστής: matha

J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Όγκος στερεού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Τρί Νοέμ 05, 2019 3:21 pm

Μια άσκηση για όποιον θέλει να περάσει ευχάριστα το χρόνο του...

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} με τύπο f(x)=-x^2+x

Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της f και τον άξονα των τετμημένων όταν αυτό:
(α) περιστραφεί πλήρως γύρω από τον άξονα των τεταγμένων
(β) περιστραφεί πλήρως γύρω από την ευθεία με εξίσωση x=-1.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11474
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όγκος στερεού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 05, 2019 5:45 pm

J K έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 3:21 pm
Μια άσκηση για όποιον θέλει να περάσει ευχάριστα το χρόνο του...
Εεε όχι. To αντίθετο! Η άσκηση είναι θέμα ρουτίνας χωρίς κανένα ενδιαφέρον. Απλές πράξεις από έτοιμους τύπους, στάνταρ θέμα κάθε χρόνο π.χ. στο GCE.

Για παράδειγμα, στο α) έχουμε περιστροφή κάποιας y = f(x) \ge 0 (τμήμα παραβολής) με 0\le x \le 1. Εδώ τα 0,1 είναι οι ρίζες της -x^2+x=0. Συνεπώς \displaystyle{V=\pi \int _0^1 f^2(x)dx = \pi \int _0^1 (-x^2+x)^2dx } που είναι άμεσο ως ολοκλήρωμα πολυωνύμου. Θα βρούμε \frac {\pi}{30}.

β) Κάνουμε ανάλογη εργασία για την περιστροφή γύρω από τον άξονα των y με μόνη διαφορά ότι πρέπει να αντιστρέψουμε την συνάρτηση. Η συγκεκριμένη έχει το x=\frac {1}{2} ως σημείο μεγίστου και μονοτονία εκατέρωθεν, και έτσι εργαζόμεστε χωριστά για το τμήμα με 0\le x \le \frac {1}{2} και χωριστά με το τμήμα για \frac {1}{2}\le x \le 1. Με άλλα λόγια περιστρέφουμε πρώτα το τμήμα με \frac {1}{2}\le x \le 1 και μετά αφαιρούμε τον όγκο εκ περιστροφής για 0\le x \le \frac {1}{2}. Δεν αξίζει τον κόπο η πληκτρολόγηση.

γ) Καμία ουσιαστική διαφορά από το προηγούμενο. Απλά ο άξονας εκ περιστροφής πήγε μία μονάδα αριστερότερα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Νοέμ 05, 2019 5:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Re: Όγκος στερεού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Τρί Νοέμ 05, 2019 5:47 pm

Έντάξει! Θα ποστάρω θέμα με μεγαλύτερο ενδιαφέρον την επόμενη φορά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11474
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όγκος στερεού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 05, 2019 5:53 pm

J K έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:47 pm
Έντάξει! Θα ποστάρω θέμα με μεγαλύτερο ενδιαφέρον την επόμενη φορά.
Με πολύ χαρά θα τα περιμένουμε. Όχι ότι δεν μας ενδιαφέρουν τα απλά θέματα (ο ίδιος συχνά ποστάρω θέματα π.χ. Δημοτικού) όμως αυτό που αποφεύγουμε είναι θέματα πράξεων ρουτίνας με στάνταρ τεχνικές, χωρίς κάτι ελκυστικό.


J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Re: Όγκος στερεού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Τρί Νοέμ 05, 2019 7:30 pm

Σαφώς όμως, αν κάποιος δεν βρίσκει ενδιαφέρον σε κάποια άσκηση, μπορεί να την προσπεράσει.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 233
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Όγκος στερεού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τρί Νοέμ 05, 2019 11:57 pm

J K έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 7:30 pm
Σαφώς όμως, αν κάποιος δεν βρίσκει ενδιαφέρον σε κάποια άσκηση, μπορεί να την προσπεράσει.
Αν όμως ανεβάσετε άλλες δυο τρεις τέτοιες δεν θα βρίσκουμε ενδιαφέρον και στις αναρτήσεις σας. Συνεπώς ο επιστημονικός διάλογος και όχι μόνο χάνει την αξία του . Σωστά;


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Όγκος στερεού

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Νοέμ 06, 2019 12:06 am

Δηλαδή το :logo: είναι ένας χώρος που έχει κριτές ως προς τι θα ήθελε κάποιος να ανεβάσει; Είναι ελιτίστικο;

Φίλε J K καλως ήρθες και ανεξάρτητα από την θεματολογία που επιλέγεις, να ανεβάζεις ότι σου αρέσει και θεωρείς ότι προάγει έναν φάκελο ή ένα θέμα, και σε περίπτωση που δεν δοθεί λύση- σε εύλογο χρονικό διάστημα- από κάποιον να την ανεβάσεις (όπως συστήνουν οι κανονισμοί) και αυτήν γιατί ξεσκουριάζουμε και εμείς που δεν βλέπουμε συχνά κάποια πράγματα.

Και πάλι καλώς ήρθες!


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11474
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όγκος στερεού

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 07, 2019 10:02 am

Για να φανεί καθαρότερα τι εννοώ, ας έχει ο αναγνώστης στον νου του ότι μιλάμε για θεματολογία στον φάκελο Α.Ε.Ι.

Πώς θα κρίνατε ένα θέμα (σε αυτόν τον συγκεκριμένο φάκελο) που ουσιαστικά ζητά

α) να λυθεί η \, -x^2+x=0 και

β) να βρεθεί το \int _0^1(x^4-2x^3+x^2)dx ;

Θα λέγατε ότι είναι θέμα ρουτίνας; Πάντα για τον φάκελο Α.Ε.Ι., και μάλιστα Γεωμετρίας, συζητάμε.

Νομίζω ότι κανένας δεν θα είχε την παραμικρή αμφιβολία για το αληθές της επισήμανσης, όπως ακριβώς έκανα παραπάνω για το αρχικό ποστ που αυτά τα ερωτήματα θέτει προς επίλυση.

Το αφήνω λοιπόν στην κρίση των αναγνωστών να αναλογιστούν αν η επισήμανση αυτή μπορεί να ερμηνευτεί ως
Christos.N έγραψε:
Τετ Νοέμ 06, 2019 12:06 am
Δηλαδή το :logo: ... είναι ελιτίστικο;
.
Και ας μην ξεχνάμε ότι μόλις λίγες γραμμές παραπάνω ήμουν ξεκάθαρος
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:53 pm
Όχι ότι δεν μας ενδιαφέρουν τα απλά θέματα (ο ίδιος συχνά ποστάρω θέματα π.χ. Δημοτικού) όμως αυτό που αποφεύγουμε είναι θέματα πράξεων ρουτίνας με στάνταρ τεχνικές, χωρίς κάτι ελκυστικό.
.
Τέλος
J K έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:47 pm
Έντάξει! Θα ποστάρω θέμα με μεγαλύτερο ενδιαφέρον την επόμενη φορά.
Άριστη αυτή η οπτική. Την επικροτούμε.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1847
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος στερεού

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Νοέμ 08, 2019 10:25 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:45 pm
J K έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 3:21 pm
Μια άσκηση για όποιον θέλει να περάσει ευχάριστα το χρόνο του...
Εεε όχι. To αντίθετο! Η άσκηση είναι θέμα ρουτίνας χωρίς κανένα ενδιαφέρον. Απλές πράξεις από έτοιμους τύπους, στάνταρ θέμα κάθε χρόνο π.χ. στο GCE.

Για παράδειγμα, στο α) έχουμε περιστροφή κάποιας y = f(x) \ge 0 (τμήμα παραβολής) με 0\le x \le 1. Εδώ τα 0,1 είναι οι ρίζες της -x^2+x=0. Συνεπώς \displaystyle{V=\pi \int _0^1 f^2(x)dx = \pi \int _0^1 (-x^2+x)^2dx } που είναι άμεσο ως ολοκλήρωμα πολυωνύμου. Θα βρούμε \frac {\pi}{30}.

β) Κάνουμε ανάλογη εργασία για την περιστροφή γύρω από τον άξονα των y με μόνη διαφορά ότι πρέπει να αντιστρέψουμε την συνάρτηση. Η συγκεκριμένη έχει το x=\frac {1}{2} ως σημείο μεγίστου και μονοτονία εκατέρωθεν, και έτσι εργαζόμεστε χωριστά για το τμήμα με 0\le x \le \frac {1}{2} και χωριστά με το τμήμα για \frac {1}{2}\le x \le 1. Με άλλα λόγια περιστρέφουμε πρώτα το τμήμα με \frac {1}{2}\le x \le 1 και μετά αφαιρούμε τον όγκο εκ περιστροφής για 0\le x \le \frac {1}{2}. Δεν αξίζει τον κόπο η πληκτρολόγηση.

γ) Καμία ουσιαστική διαφορά από το προηγούμενο. Απλά ο άξονας εκ περιστροφής πήγε μία μονάδα αριστερότερα.
Μιχάλη καλημέρα...

Για να συμπληρώσω τα ανωτέρω, παραθέτω και τα σχήματα των στερεών της δεύτερης περίπτωσης που γράφεις...

1ο σχήμα:
Όγκος 1.png
Όγκος 1.png (38.61 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές
Μοιάζει με μια "ομηρική ασπίδα"!

2ο σχήμα
Ογκος 2.png
Ογκος 2.png (44.21 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές
Μετά την αφαίρεση του δεύτερου στερεού.

3ο σχήμα
Όγκος 3.png
Όγκος 3.png (52.56 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές
Από μια άλλη οπτική γωνία.

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ.
Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα όπου μπορείτε να δείτε την όλη
διαδικασία.

Στερεό εκ περιστροφής 1.ggb
(12.47 KiB) Μεταφορτώθηκε 6 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης