Ευκλείδεια Γεωμετρία

[stranger]

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι συνεπές και πλήρες αξιωματικό σύστημα.Το οποίο σημαίνει ότι δεν αποδεικνύει αντιφάσεις και για κάθε πρότασή της, είναι αποδείξιμη η αυτή η άρνησή της.
Δεν είναι φοβερό; Μάλλον ήξερε τι έκανε ο γερο-Ευκλείδης.
Σχολιάστε.

[Μάρκος Βασίλης]

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι συνεπές και πλήρες αξιωματικό σύστημα.Το οποίο σημαίνει ότι δεν αποδεικνύει αντιφάσεις και για κάθε πρότασή της, είναι αποδείξιμη η αυτή η άρνησή της.
Δεν είναι φοβερό; Μάλλον ήξερε τι έκανε ο γερο-Ευκλείδης.
Σχολιάστε.

Αρχικά, η Ευκλείδεια γεωμετρία, αν ιδωθεί με τα «μάτια» του Ευκλείδη, ως θεωρία, δεν είναι πλήρης. Αν θεωρήσουμε το σύνολο των κατασκευάσιμων αριθμών, τότε αυτοί αποτελούν ένα Ευκλείδιο σώμα (διατεταγμένο σώμα όπου κάθε μη αρνητικό στοιχείο «έχει ρίζα»). Ως εκ τούτου, όπως βλέπουμε στο [1], το σύνολο αποτελεί μοντέλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως αυτή αναπτύσσεται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Δηλαδή, όσα λέει ο Ευκλείδης μπορούν να «ζήσουν» πάνω στο .

Ένα άλλο μοντέλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας των «Στοιχείων» είναι και το γνωστό και μη εξαιρετέο . Αν πάρουμε τώρα την πρόταση:

«Κάθε γωνία έχει μία τριχοτόμηση»,

τότε, αυτή η πρόταση, προφανώς, ισχύει στο , ωστόσο, για την γωνία μπορούμε να αποδείξουμε - βλ. [2] - ότι δεν ισχύει στο - συνοπτικά, . Έτσι, έχουμε δύο μοντέλα της μίας θεωρίας, στο ένα εκ των οποίων η ισχύει ενώ στο άλλο όχι, άρα η θεωρία μας - αυτή του Ευκλείδη, δηλαδή - δεν μπορεί να είναι πλήρης.

Ωστόσο, νά' ναι καλά ο Tarski, υπάρχει μία άλλη αξιωματικοποίηση της Γεωμετρίας, η οποία είναι πλήρης και, μάλιστα έχει και πολλές άλλες αρετές - είναι αποφασίσιμη, είναι πρωτοτάξια κ.λπ.. Να σημειωθεί, επίσης, ότι ένα μοντέλο αυτής της Γεωμετρίας είναι και το , όπου είναι το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών. Τέλος, ένα «μειονέκτημα» της θεωρίας είναι ότι συμπεριλαμβάνει ένα (άπειρα αριθμήσιμο) αξιωματικό σχήμα - το αξιωματικό σχήμα της συνέχειας - γεγονός που δεν την καθιστά πεπερασμένα αξιωματικοποιήσιμη και, ως εκ τούτου, δύσχρηστη σε εφαρμογές αυτοματοποιημένου συμπερασμού.

• Geometry, Euclid and Beyond, Heartstone

• Elementary Geometry from an advanced standpoint, Moise

[stranger]

Αναφερόμουν στο αξιωματικό σύστημα του Tarski.
Έχω επίσης και το άρθρο του Tarski πάνω σε αυτό το θέμα.
Οποίος θέλει να το διαβάσει ας μου στείλει μήνυμα να του το στείλω.

[Μάρκος Βασίλης]

Αναφερόμουν στο αξιωματικό σύστημα του Tarski.
Έχω επίσης και το άρθρο του Tarski πάνω σε αυτό το θέμα.
Οποίος θέλει να το διαβάσει ας μου στείλει μήνυμα να του το στείλω.

Γενικά, τα αξιώματα του Tarksi είναι άκρως αφύσικα - προσωπική άποψη - αλλά ταυτόχρονα και πάρα πολύ λειτουργικά, σε αντίθεση, π.χ. με αυτά του Hilbert. Μάλιστα, σε μία δουλειά του Phill Scott, που συνεχίζει ένα project του Meikle για την αυτοματοποίηση των αποδείξεων από τα αξιώματα του Hilbert γίνονται και αρκετές αναφορές στο πώς αυτά είναι έντονα βασισμένα σε καθαρά γεωμετρικές εικόνες, με αποτέλεσμα να προκύπτουν ασάφειες στη χρήση τους.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Εχετε καταλάβει και οι δύο ότι συνομιλείτε μόνοι σας.
Το θέμα είναι πολύ ειδικό.
Καλό είναι αυτά που γράφεται να έχουν κάποια εξήγηση ώστε να μπορούν να τα καταλάβουν κάποιοι.
(και πέντε έξι καλά είναι).
Αλλιώς ωραία είναι να συνομιλείτε και όλοι οι άλλοι να μην καταλαβαίνουν.