Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

Έλενα Σάββα · #1

Βρείτε στην μορφή $\bar{u}z+u\bar{z}+c=0$ την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία $w_{1}=3-i , w_{2}=-1+i$ .

Γνωρίζω πως το διάνυσμα διεύθυνσης είναι $w_{1}-w_{2}=4-2i$ .
Παρόλα αυτά οι σημειώσεις μου με έχουν μπερδέψει και δεν έχω κάποιο αντίστοιχο παράδειγμα για να ξεκαθαρίσω τα επόμενα βήματα για να την βρω στη συγκεκριμένη μορφή.

ευχαριστώ για τον χρόνο του ,όποιος ασχοληθεί.

#2

Λοιπόν, θα σου δείξω πως να βρεις την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα u = 1+i

και

ώστε να έχεις ένα παράδειγμα. Θα σου δείξω δύο τρόπους.

Πρώτος Τρόπος

Μια διεύθυνση της ευθείας είναι η w = u-v = -1+2i

. Άρα η ευθεία μπορεί να γραφτεί στη μορφή z = u + tw = (1+i) + t(-1+2i)

με $t \in \mathbb{R}$ . Παίρνοντας συζυγείς (χρησιμοποιώντας ότι $t \in \mathbb{R}$ ) έχουμε και $\overline{z} = (1-i) + t(-1-2i)$ . Τώρα απαλείφουμε το

. Έχουμε

$\displaystyle (-1-2i)z = (-1-2i)(1+i) + t(-1-2i)(-1+2i) = (1-3i)+ t(-1-2i)(-1+2i)$
$\displaystyle (-1+2i)\overline{z} = (-1+2i)(1-i) + t(-1+2i)(-1-2i) = (1+3i)+ t(-1+2i)(-1-2i)$

Αφαιρώντας καταλήγουμε στο

$\displaystyle (-1-2i)z -(-1+2i)\overline{z} = (1-3i) - (1+3i) = -6i$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle (1+2i)z - (1-2i)\overline{z} = 6i$

Δεν είναι ακριβώς στη μορφή που το θέλεις επειδή το φέραμε στην μορφή $\overline{u}z - u\overline{z}=c$ . Πολλαπλασιάζοντας όμως με

θα έρθει στη μορφή

$\displaystyle (-2+i)z + (-2-i)\overline{z} = -6$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle (2+i)\overline{z} + (2-i)z - 6 = 0.$

Σημείωση: Αν η εξίσωση της ευθείας γραφτεί στη μορφή $\overline{u}z + u\overline{z}+c=0$ τότε το

θα είναι πραγματικός αριθμός.

Δεύτερος Τρόπος

Με τη γνωστή μέθοδο βρίσκουμε την καρτεσιανή εξίσωση της ευθείας. Παραλείπω τις πράξεις αλλά βγαίνει y = -2x+3

. Χρησιμοποιούμε τώρα τα $x = \frac{z + \overline{z}}{2}$ και $y = \frac{z - \overline{z}}{2i}$ . Άρα

$\displaystyle \frac{z - \overline{z}}{2i} = -(z + \overline{z}) + 3$

Ισοδύναμα

$\displaystyle z - \overline{z} = -2i(z+\overline{z}) + 6i$

και

$\displaystyle (1+2i)z - (1-2i)\overline{z} = 6i$

Όπως και προηγουμένως καταλήγουμε στη

$\displaystyle (2+i)\overline{z} + (2-i)z - 6 = 0.$

Έλενα Σάββα · #3

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 24, 2019 5:47 pm
Λοιπόν, θα σου δείξω πως να βρεις την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα και ώστε να έχεις ένα παράδειγμα. Θα σου δείξω δύο τρόπους.

Σας ευχαριστώ ,πλήρως κατανοητοί και οι δύο τρόποι.

Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

Re: Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

Re: Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

Μέλη σε σύνδεση