Ολα στην ευθεία
Συντονιστής: matha
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ολα στην ευθεία
Εστω Ευκλείδιος χώρος
(δηλαδή διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο πάνω στο )
Για το
και τα
έχουμε
Να αποδειχθεί ότι
η ανάποδα ,όπου
(δηλαδή διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο πάνω στο )
Για το
και τα
έχουμε
Να αποδειχθεί ότι
η ανάποδα ,όπου
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ολα στην ευθεία
Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον , τον ή και τον .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον με , , που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα: Από τις υποθέσεις έχουμε ότι .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των , γύρω από την ευθεία του μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα: όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον , τον ή και τον .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον με , , που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα: Από τις υποθέσεις έχουμε ότι .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των , γύρω από την ευθεία του μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα: όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολα στην ευθεία
Την ίδια απόδειξη είχα και εγώ.
Βέβαια επειδή στην ουσία το πρόβλημα είναι στο επίπεδο υπάρχει και η απόδειξη
του Μιχάλη στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 20&t=64853
Σε χώρους με νόρμα δεν ισχύει.
Αν πάρουμε τον
και
εύκολα βλέπουμε ότι δεν ισχύει.
Βέβαια επειδή στην ουσία το πρόβλημα είναι στο επίπεδο υπάρχει και η απόδειξη
του Μιχάλη στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 20&t=64853
Σε χώρους με νόρμα δεν ισχύει.
Αν πάρουμε τον
και
εύκολα βλέπουμε ότι δεν ισχύει.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολα στην ευθεία
Υπάρχει ένα προβληματάκι .nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pmΣταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον , τον ή και τον .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον με , , που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των , γύρω από την ευθεία του μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η .
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς την και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ολα στην ευθεία
Υπάρχουν δύο δυνατές περιστροφές του ημιεπιπέδου των ώστε να βρεθεί στο επίπεδο των , Η μία ταυτίζει το ημιεπίπεδο των με το ημιεπίπεδο των η άλλη με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , Επιλέγουμε την δεύτερη. Το δεύτερο σχήμα αφορά αυτή την περίπτωση. Υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:01 amΥπάρχει ένα προβληματάκι .nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pmΣταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον , τον ή και τον .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον με , , που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των , γύρω από την ευθεία του μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η .
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς την και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολα στην ευθεία
Γεια σου Νίκο.nsmavrogiannis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:39 pmΥπάρχουν δύο δυνατές περιστροφές του ημιεπιπέδου των ώστε να βρεθεί στο επίπεδο των , Η μία ταυτίζει το ημιεπίπεδο των με το ημιεπίπεδο των η άλλη με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , Επιλέγουμε την δεύτερη. Το δεύτερο σχήμα αφορά αυτή την περίπτωση. Υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:01 amΥπάρχει ένα προβληματάκι .nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pmΣταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον , τον ή και τον .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον με , , που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των , γύρω από την ευθεία του μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η .
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς την και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.
Αν ξεκινήσουμε από τον τότε πάντα μπορούμε να πάμε στο σχήμα
που έχεις.
Αν όμως είμαστε στον τότε μπορεί τα σημεία να είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο.
Για αυτό τον λόγο το έγραψα.
Βέβαια πάλι μπορούμε να στρίψουμε και να πάμε στο σχήμα σου.
Στην ουσία να κάνουμε συμμετρία.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ολα στην ευθεία
Σταύρο τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Μιλάς για την περίπτωση που δεν ανέπτυξα:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:47 pmΑν όμως είμαστε στον τότε μπορεί τα σημεία να είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο.
Για αυτό τον λόγο το έγραψα.
Βέβαια πάλι μπορούμε να στρίψουμε και να πάμε στο σχήμα σου.
Στην ουσία να κάνουμε συμμετρία.
nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm..
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης .
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες