προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Συντονιστής: matha
-
- Δημοσιεύσεις: 21
- Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 5:19 pm
προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Τι εννοεί η εκφώνηση όταν λέει :
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) της καμπύλης :
καταλαβαίνει κάποιος;
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) της καμπύλης :
καταλαβαίνει κάποιος;
τελευταία επεξεργασία από dimitris0101 σε Σάβ Μαρ 24, 2018 5:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Έχουμε μια σφαίρα ένα επίπεδο που τέμνονται (τι σχηματίζει η τομή τους ) και στη συνέχεια θέλουμε να βρούμε την προβολή αυτής της καμπύλης στο επίπεδο .
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Στην πραγματικότητα πρέπει να λέει "της καμπύλης" (μία είναι).dimitris0101 έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 4:02 pmΝα βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) στις καμπύλες :
Προφανώς η άσκηση είναι από βιβλίο στο οποίο η εκφώνηση έχει πολλές παρόμοιες καμπύλες, σαν να λέμε α), β), ... , ω) ,
(εξ ου ο πληθυντικός) και η παραπάνω είναι απλά μία από αυτές.
-
- Δημοσιεύσεις: 21
- Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 5:19 pm
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Ωραία άρα για να το λύσω πρέπει να αντικαταστήσω όπου χ το z ή το αντιστροφο και προκύπτει μια έλλειψη. Αυτή θα είναι η προβολή ή θα πρέπει καπως να χρησιμοποιήσω και το επίπεδο z=0 ;;
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
dimitris0101 έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 4:02 pmΤι εννοεί η εκφώνηση όταν λέει :
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) στις καμπύλες :
καταλαβαίνει κάποιος;
Καλησπέρα...Christos.N έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 4:14 pmΈχουμε μια σφαίρα ένα επίπεδο που τέμνονται (τι σχηματίζει η τομή τους ) και στη συνέχεια θέλουμε να βρούμε την προβολή αυτής της καμπύλης στο επίπεδο .
Το εξήγησε σωστά ο Χρήστος. Απλά εγώ θα κάνω κι ένα σχήμα.
Πριν όμως πούμε κάτι, πρέπει να σημειωθεί ότι στην εκφώνηση "στις καμπύλες" προφανώς θέλει η φράση "της καμπύλης",
δηλαδή της καμπύλης που ορίζει η συγκεκριμένη σφαίρα και το δοθέν επίπεδο που είναι το διχοτομούν
επίπεδο της διέδρου που σχηματίζουν τα επίπεδα και .
Σχήμα 1
Σημειώνεται ότι ο άξονας των είναι ο κόκκινος, των είναι ο πράσινος και των ο γαλάζιος.
Όπως φαίνεται το επίπεδο αυτό, επειδή διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας θα τέμνει αυτή κατά
ένα μέγιστο κύκλο.
Η εξίσωση του κύκλου αυτού μπορεί να γραφεί΄και με αναλυτική γραφή(δεν είναι επί του παρόντος...).
Σχήμα 2
Στο σχήμα αυτό φαίνονται και οι δύο διάμετροι του κύκλου αυτού που είναι
οι και .
Κατά την ορθή προβολή επί του οριζοντίου επιπέδου η μία δηλ. η παραμένει
αμετάβλητη ενώ η δεύτερη γίνεται μικρότερη κατά το .
Σχήμα 3
Στο σχήμα αυτό φαίνεται η έλλειψη που είναι προβολή του μέγιστου κύκλου
στο οριζόντιο επίπεδο. Εύκολα βρίσκεται και η εξισωσή της.
Κώστας Δόρτσιος
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Κυρ Μαρ 25, 2018 2:22 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 21
- Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 5:19 pm
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ . Η απάντησή σας με κάλυψε πλήρως, απλώς θα ήθελα να ξέρω αν η απάντηση που παρέθεσα παραπάνω ταυτίζεται με την λύση σας καθώς σε επιφάνειες περιπλοκότερες της σφαίρας η γεωμετρική επίλυση θα ήταν επίπονη.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Μια γενική μέθοδος της προβολής μιας καμπύλης του σε ένα από τα επίπεδα που ορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων είναι να έχουμε μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης και κατόπιν να εισάγουμε σε αυτήν, την συνθήκη του αντίστοιχου επιπέδου.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση, μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης που είναι τα κοινά σημεία της σφαίρας και του επιπέδου είναι η(*)
Επειδή θέλουμε την προβολή της στο επίπεδο , η ζητούμενη καμπύλη έχει παραμετρική παράσταση
(*) Από την παραμετρική παράσταση
της σφαίρας και την συνθήκη
προκύπτει
Στην συγκεκριμένη περίπτωση, μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης που είναι τα κοινά σημεία της σφαίρας και του επιπέδου είναι η(*)
Επειδή θέλουμε την προβολή της στο επίπεδο , η ζητούμενη καμπύλη έχει παραμετρική παράσταση
(*) Από την παραμετρική παράσταση
της σφαίρας και την συνθήκη
προκύπτει
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Γρηγόρη καλημέρα,grigkost έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 6:30 pmΜια γενική μέθοδος της προβολής μιας καμπύλης του σε ένα από τα επίπεδα που ορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων είναι να έχουμε μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης και κατόπιν να εισάγουμε σε αυτήν, την συνθήκη του αντίστοιχου επιπέδου.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση, μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης που είναι τα κοινά σημεία της σφαίρας και του επιπέδου είναι η(*)
Επειδή θέλουμε την προβολή της στο επίπεδο , η ζητούμενη καμπύλη έχει παραμετρική παράσταση
........................................................
οι τύποι σου λειτοργούν άψογα και είναι γενικοί.
Θα προσθέσω ότι σ' αυτήν ειδικά την περίπτωση μπορεί κανείς, για να βρεί μια παραμετρική εξίσωση
της τομής που ζητούμε, να εργαστεί και ως εξής στο ακόλουθο σχήμα:
Θεωρούμε την εξίσωση του "ισημερινού κύκλου" με παραμετρική μορφή:
Στον κύκλο αυτό εφαρμόζω τον πίνακα στροφής περί τον άξονα κατά γωνία
ίση με:
ο οποίος είναι:
Μετά τον πολλαπλασιασμό προκύπτουν η παραμετρική εξίσωση του κύκλου στροφής που είναι:
Από την (1) εύκολα προκύπτει και η εξίσωση της προβολής στον "ορίζοντα"
της καμπύλης αυτής, δηλαδή:
Με τους τύπους (1) και (2) σχεδιάστηκε το ανωτέρω σχήμα για το οποίο παραθέτω και ένα δυναμικό αρχείο.
Κώστας Δόρτσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Επειδή τα σημεία της καμπύλης ικανοποιούν τηνdimitris0101 έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 4:02 pmΤι εννοεί η εκφώνηση όταν λέει :
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) της καμπύλης :
καταλαβαίνει κάποιος;
Δηλαδή την
Ετσι η προβολή στο επίπεδο είναι μέρος της έλλειψης .
Αλλά η καμπύλη σαν τομή σφαίρας με επίπεδο είναι κύκλος.
Ετσι η προβολή θα είναι μια κλειστή καμπύλη.
Αρα η προβολή είναι όλη η έλλειψη .
-
- Δημοσιεύσεις: 21
- Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 5:19 pm
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Νομίζω έχεις θέσει λάθως τις σφαιρικές συντεταγμένες...grigkost έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 6:30 pmΜια γενική μέθοδος της προβολής μιας καμπύλης του σε ένα από τα επίπεδα που ορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων είναι να έχουμε μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης και κατόπιν να εισάγουμε σε αυτήν, την συνθήκη του αντίστοιχου επιπέδου.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση, μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης που είναι τα κοινά σημεία της σφαίρας και του επιπέδου είναι η(*)
Επειδή θέλουμε την προβολή της στο επίπεδο , η ζητούμενη καμπύλη έχει παραμετρική παράσταση
curve_proj.png
(*) Από την παραμετρική παράσταση
της σφαίρας και την συνθήκη
προκύπτει
-
- Δημοσιεύσεις: 21
- Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 5:19 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Δεν είναι σφαιρικές συντεταγμένες! Είναι μια από τις πολλές -ισοδύναμες μεταξύ τους- παραμετρικές παραστάσεις της σφαίρας .dimitris0101 έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 25, 2018 9:23 pm...Νομίζω έχεις θέσει λάθως τις σφαιρικές συντεταγμένες...
Υ.Γ. Αν δεν γνωρίζεις διαφορική γεωμετρία, τότε δεν γνωρίζεις την έννοια της παραμετρικής παράστασης μιας επιφάνειας. Πάντως, είναι διαφορετική έννοια από τις σφαιρικές συντεταγμένες (οι οποίες αφορούν τον τρόπο με τον οποίο "κοιτάζουμε" ή "μετράμε" στον Ευκλείδειο χώρο).
Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο
Στην όλη κουβέντα μας ας ειπωθεί και τούτο:
Όταν αναφερόμαστε στο επίπεδο τότε η γραφή:
δηλώνει τη συγκεκριμένη έλλειψη.
Όταν όμως αναφερόμαστε στο χώρο των τριών διαστάσεων τότε η
γραφή:
δηλώνει μια ορθή ελλειπτική κυλινδρική επιφάνεια της οποίας οδηγός είναι
η γνωστή έλλειψη πάνω στο επίπεδο , όπως φαίνεται και
στο ακόλουθο σχήμα:
κι αυτό διότι η εξίσωση:
εννοείται ότι συνοδεύεται από την σημείωση: ,
δηλαδή η εξίσωση (1) συμπεριλαμβάνει όλα τα σημεία
του χώρου για τα οποία ισχύει:
η οποία παριστά όπως αναφέρθηκε μια ορθή ελλειπτική κυλινδρική επιφάνεια.
Ύστερα από αυτά για να δηλώσουμε τη γνωσή μας έλλειψη, όταν είμαστε
στο χώρο των τριών διαστάσεων θα πρέπει να γράψουμε:
η οποία δηλώνει την τομή της αναφερθείσας κυλινδρικής επιφάνειας με το επίπεδο
το οποίο είναι το επίπεδο .
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες