Ορισμός : Ένας μετρικός χώρος λέγεται γεωδαισιακός, αν για κάθε υπάρχουν
και απεικόνιση με
και .
Να αποδείξετε ότι το με την επαγόμενη μετρική του
δεν είναι γεωδαισιακός μετρικός χώρος.
Αντιπαράδειγμα
Συντονιστής: matha
Re: Αντιπαράδειγμα
Έστω . Τότε, για γεωδαισιακή καμπύλη , ισχύει . Έτσι, στην περίπτωση των Ευκλείδειων χώρων, το πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα στα και η καμπύλη πρέπει να είναι ευθεία. Kάθε ζεύγος σημείων πρέπει λοιπόν να συνδέεται με ευθύγραμμο τμήμα, κάθε σημείο του οποίου ανήκει στο χώρο.
Στην περίπτωσή μας τα προφανώς δεν πληρούν τη συνθήκη (αφού το δεν ανήκει στο χώρο) και ο χώρος δεν είναι γεωδαισιακός.
Στην περίπτωσή μας τα προφανώς δεν πληρούν τη συνθήκη (αφού το δεν ανήκει στο χώρο) και ο χώρος δεν είναι γεωδαισιακός.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες