Εύρεση έλλειψης

#1

Η άσκηση: Στο επίπεδο ${\rm O}xy$ θεωρούμε την έλλειψη με κέντρο το (0, 0)

της οποίας η απόσταση των εστιών της είναι ίση με

. Θεωρούμε την ευθεία 2x+3y+9=0

η οποία εφάπτεται της έλλειψης σε σημείο ${\rm M}$ . Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης.

Και μια επίλυσή της:

Έστω $\varphi$ η γωνία που σχηματίζει ο μεγάλος άξονας της ζητούμενης έλλειψης με τον θετικό ημιάξονα ${\rm O} x$ . Αν ${\rm{M}}(x_0,y_0)$ το σημείο επαφής της εφαπτομένης $(\varepsilon): 2x+3y+9=0$ με την έλλειψη, ${\rm{E}}$ , ${\rm{E}}'$ οι εστίες της έλλειψης και $2\alpha$ , $2\beta$ τα μήκη του μεγάλου και του μικρού άξονα της έλλειψης, αντίστοιχα,

: ellipse_and_tan.png (29.46 KiB) Προβλήθηκε 1666 φορές

τότε ισχύουν: ${\rm{E}}(2\cos\varphi,2\sin\varphi)$ , ${\rm{E}}'(-2\cos\varphi,-2\sin\varphi)$ και

$\begin{aligned} \frac{(x_0\,\cos\varphi-y_0\,\sin\varphi)^2}{\alpha^2}+\frac{(x_0\,\sin\varphi+y_0\,\cos\varphi)^2}{\alpha^2-4}&=1& (1)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2x_0+3y_0+9&=0 &(2) \end{aligned}$

όπου η εξίσωση (1)

είναι η εξίσωση της έλλειψης μετά από στροφή κατά γωνία $\varphi$ περί το κέντρο $\rm{O}$ .

Σε μια έλλειψη ισχύουν οι ιδιότητες:

Η κάθετη στην έλλειψη στο σημείο $\rm{M}$ διχοτομεί την γωνία των εστιακών ακτίνων από το σημείο $\rm{M}$ .
Δηλαδή ισχύει $\dfrac{\overrightarrow{\rm{ME}}\cdot \overrightarrow{n}}{\big\|\overrightarrow{\rm{ME}}\big\|}=\dfrac{\overrightarrow{\rm{ME'}}\cdot \overrightarrow{n}}{\big\|\overrightarrow{\rm{ME'}}\big\|}$ , όπου $\overrightarrow{n}=(2,3)$ .
Το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών από τυχούσα εφαπτομένη της έλλειψης είναι σταθερό και ίσο με $\beta^2$ . Δηλαδή ισχύει $d\,d'=\beta^2=\alpha^2-4$ .

Οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται

$\begin{aligned} \frac{2\,(2\cos\varphi-x_0)+3\,(2\sin\varphi-y_0)}{\sqrt{(2\cos\varphi-x_0)^2+(2\sin\varphi-y_0)^2}}&=\frac{2\,(-2\cos\varphi-x_0)+3\,(-2\sin\varphi-y_0)}{\sqrt{(-2\cos\varphi-x_0)^2+(-2\sin\varphi-y_0)^2}}& (3)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} (4\cos\varphi+6\sin\varphi)^2&=11\alpha^2-125 & (4) \end{aligned}$

Επιλύοντας το σύστημα των τεσσάρων εξισώσεων $(1),\,(2),\,(3)$ και (4)

προσδιορίζονται τα απαιτούμενα για την εύρεση της έλλειψης. Όμως είναι προφανές ότι το σύστημα είναι δυσεπίλυτο. Αναζητείται, λοιπόν, κομψότερη λύση.

Christos.N · #2

Αγαπητέ Γρηγόρη , το θέμα είχε προταθεί και εδώ και είχα εκφράσει τις ενστάσεις μου όχι στην λύση του Γιώργου παρά στην λεπτομέρεια ότι ήταν θέμα εξετάσεων.

παράλληλα με το σκεπτικό της προσέγγισης σου αλλά με διαφορετική ματιά από αυτή, έκανα αυτές τις σκέψεις:

: Καταγραφή.PNG (30.47 KiB) Προβλήθηκε 1620 φορές

Στην προβολή του $\displaystyle{AA'}$ στην εφαπτόμενη ευθεία , έχουμε το τμήμα $\displaystyle{BB'}$ (στο σχήμα τα μπουρδούκλωσα λίγο). Αρκεί να κατασκευασθεί σημείο εντός της προβολής ώστε τα τρίγωνα με πλευρές $\displaystyle{AB,\,\,A'B'}$ να είναι όμοια.

Σε τυχαία ημιευθεία με αρχή το σημείο

μεταφέραμε διαδοχικά τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{AB,\,\,A'B'}$ . Στη συνέχεια με παράλληλες διαιρέσαμε την προβολή στο ζητούμενο λόγο.

Συνεπώς το σημείο αυτό είναι σημείο της έλλειψης το οποίο τελικά προσδιορίζεται απο τις διάφορες θέσεις του ευθύγραμμου τμήματος AA'

. Δεν μπορούμε άρα να προσδιορίσουμε μοναδική έλλειψη , παρακάτω δίνεται και το δυναμικό σχήμα.

#3

Christos.N έγραψε:...το θέμα είχε προταθεί και εδώ και είχα εκφράσει τις ενστάσεις μου όχι στην λύση του Γιώργου παρά στην λεπτομέρεια ότι ήταν θέμα εξετάσεων.

Χρήστο, το είχα δει ότι το θέμα είχε συζητηθεί εκεί, αλλά επειδή κατά κάποιο τρόπο "πνίγηκε" -αφού δημοσιεύθηκε στον φάκελο Β' Λυκείου- θέλησα να συζητηθεί σε πιο "άνετο περιβάλλον".

Βρίσκω την λύση που έδωσες εξαιρετική, σε αντίθεση με την δική μου, η οποία θα "μου έλεγε" βέβαια ότι το σύστημα δεν έχει πεπερασμένου πλήθους λύσεις, αν κατόρθωνα να επιλύσω το σύστημα!

Christos.N · #4

grigkost έγραψε: ...σε αντίθεση με την δική μου, η οποία θα "μου έλεγε" βέβαια ότι το σύστημα δεν έχει πεπερασμένου πλήθους λύσεις, αν κατόρθωνα να επιλύσω το σύστημα!

Αγαπητέ Γρηγόρη με τιμάς, εσύ λύνεις το πρόβλημα όμως εγώ δεν λύνω παρά περιγράφω περισσότερο και αυτό γιατί είχαμε διαφορετικούς στόχους. Ενώ εσύ κατευθύνθηκες στον προσδιορισμό της έλλειψης εγώ αντίθετα είχα κατά νου να προσδιορίσω την απροσδιοριστία του ίδιου του προβλήματος.

#5

Christos.N έγραψε:
grigkost έγραψε: ...σε αντίθεση με την δική μου, η οποία θα "μου έλεγε" βέβαια ότι το σύστημα δεν έχει πεπερασμένου πλήθους λύσεις, αν κατόρθωνα να επιλύσω το σύστημα!
Αγαπητέ Γρηγόρη με τιμάς, εσύ λύνεις το πρόβλημα όμως εγώ δεν λύνω παρά περιγράφω περισσότερο και αυτό γιατί είχαμε διαφορετικούς στόχους. Ενώ εσύ κατευθύνθηκες στον προσδιορισμό της έλλειψης εγώ αντίθετα είχα κατά νου να προσδιορίσω την απροσδιοριστία του ίδιου του προβλήματος.

Χρήστο, δεν είναι έτσι τα πράγματα. Εσύ έδωσες πλήρη λύση (δεν έχω την παραμικρό ενδοιασμό να την χαρακτηρίσω σαν τέτοια) στο συγκεκριμένο πρόβλημα, ενώ εγώ, ουσιαστικά, δεν έφτασα...σε αυτήν.
Επομένως η τιμή σου ανήκει.

Εύρεση έλλειψης

Εύρεση έλλειψης

Re: Εύρεση έλλειψης

Re: Εύρεση έλλειψης

Re: Εύρεση έλλειψης

Re: Εύρεση έλλειψης

Μέλη σε σύνδεση