mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 17, 2016 3:47 am**

Καλησπέρα σας !
Θα ήθελα να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση :
Πώς μπορώ να βρω τα άκρα της χορδής

της υπερβολής με εξίσωση xy=1

η οποία διχοτομείται από το σημείο P:(2,1)

;

Σας ευχαριστώ πολύ !

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 17, 2016 7:47 am**

Mαριάννα έγραψε:Καλησπέρα σας !
Θα ήθελα να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση :
Πώς μπορώ να βρω τα άκρα της χορδής της υπερβολής με εξίσωση η οποία διχοτομείται από το σημείο ;

Σας ευχαριστώ πολύ !

Μια ιδέα (λίγο συμπυκνωμένα) .

: υπερβολή.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 1821 φορές

Η ευθεία μ’ εξίσωση $y = kx + 1 - 2k\,\,\,,\,\,k \in {\mathbb{R}^*}$ διέρχεται πάντα από το A(2,1)

ενώ η κατακόρυφη δια του

προφανώς δεν αποτελεί λύση του προβλήματος.

Το σύστημα $\left\{ \begin{gathered} y = kx + 1 - 2k \hfill \\ xy = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ μας δίδει την εξίσωση : $k{x^2} + (1 - 2k)x - 1 = 0$ .

Από τους τύπους Vieta

έχουμε ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{2k - 1}}{k}$ και πρέπει $\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 2$ και άρα $k = - \dfrac{1}{2}$ .

Μετά απ’ αυτά τα άκρα είναι $\boxed{B(2 + \sqrt 2 ,\frac{1}{{2 + \sqrt 2 }})\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C(2 - \sqrt 2 ,\frac{1}{{2 - \sqrt 2 }})}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 17, 2016 4:28 pm**

σας ευχαριστώ πάρα πολύ !!!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 18, 2016 12:01 am**

Χρησιμοποιώντας το πιο πάνω σχήμα..

Έστω $\displaystyle{B\left(t, \dfrac{1}{t}\right), C\left(p, \dfrac{1}{p}\right)}$ με $\displaystyle{t, p\neq 0}$ .

Το σημείο $\displaystyle{P}$ είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{BC}$ , συνεπώς: $\displaystyle{\left\{\begin{gathered} \dfrac{t+p}{2}=2\\\dfrac{\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{p}}{2}=1\end{gathered} \right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered} t+p=4\\tp=2\end{gathered} \right.}$

Από το πιο πάνω σύστημα προκύπτει η εξίσωση $\displaystyle{p^2-4p+2=0}$ , με λύσεις τις $\displaystyle{p_{1,2}=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{2}=2\pm\sqrt{2}}$ .

Τελικά, τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{BC}$ έχουν συντεταγμένες $\displaystyle{B\left(2+\sqrt{2}, \dfrac{1}{2+\sqrt{2}}\right), C\left(2-\sqrt{2}, \dfrac{1}{2-\sqrt{2}}\right)}$ .

Επεξεργασία: Αλλαγή στην ονομασία των σημείων $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ , λόγω επεξεργασίας του σχήματος από τον Doloros.

mathematica.gr

ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΥΠΕΡΒΟΛΗ

Re: ΥΠΕΡΒΟΛΗ

Re: ΥΠΕΡΒΟΛΗ

Re: ΥΠΕΡΒΟΛΗ