ΥΠΕΡΒΟΛΗ

Συντονιστής: matha

Mαριάννα
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Τετ Οκτ 15, 2014 6:09 pm

ΥΠΕΡΒΟΛΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mαριάννα » Παρ Ιουν 17, 2016 3:47 am

Καλησπέρα σας !
Θα ήθελα να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση :
Πώς μπορώ να βρω τα άκρα της χορδής AB της υπερβολής με εξίσωση xy=1 η οποία διχοτομείται από το σημείο P:(2,1) ;

Σας ευχαριστώ πολύ !


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5785
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΥΠΕΡΒΟΛΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 17, 2016 7:47 am

Mαριάννα έγραψε:Καλησπέρα σας !
Θα ήθελα να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση :
Πώς μπορώ να βρω τα άκρα της χορδής AB της υπερβολής με εξίσωση xy=1 η οποία διχοτομείται από το σημείο P:(2,1) ;

Σας ευχαριστώ πολύ !

Μια ιδέα (λίγο συμπυκνωμένα) .
υπερβολή.png
υπερβολή.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 1331 φορές
Η ευθεία μ’ εξίσωση y = kx + 1 - 2k\,\,\,,\,\,k \in {\mathbb{R}^*} διέρχεται πάντα από το A(2,1) ενώ η κατακόρυφη δια του A προφανώς δεν αποτελεί λύση του προβλήματος.

Το σύστημα \left\{ \begin{gathered} 
  y = kx + 1 - 2k \hfill \\ 
  xy = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. μας δίδει την εξίσωση : k{x^2} + (1 - 2k)x - 1 = 0 .

Από τους τύπους Vieta έχουμε {x_1} + {x_2} = \dfrac{{2k - 1}}{k} και πρέπει \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 2 και άρα k =  - \dfrac{1}{2} .

Μετά απ’ αυτά τα άκρα είναι \boxed{B(2 + \sqrt 2 ,\frac{1}{{2 + \sqrt 2 }})\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C(2 - \sqrt 2 ,\frac{1}{{2 - \sqrt 2 }})}.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιουν 18, 2016 10:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mαριάννα
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Τετ Οκτ 15, 2014 6:09 pm

Re: ΥΠΕΡΒΟΛΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mαριάννα » Παρ Ιουν 17, 2016 4:28 pm

σας ευχαριστώ πάρα πολύ !!!


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 437
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΥΠΕΡΒΟΛΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Ιουν 18, 2016 12:01 am

Χρησιμοποιώντας το πιο πάνω σχήμα..

Έστω \displaystyle{B\left(t, \dfrac{1}{t}\right), C\left(p, \dfrac{1}{p}\right)} με \displaystyle{t, p\neq 0}.

Το σημείο \displaystyle{P} είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle{BC}, συνεπώς: \displaystyle{\left\{\begin{gathered} \dfrac{t+p}{2}=2\\\dfrac{\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{p}}{2}=1\end{gathered} \right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered} t+p=4\\tp=2\end{gathered} \right.}

Από το πιο πάνω σύστημα προκύπτει η εξίσωση \displaystyle{p^2-4p+2=0}, με λύσεις τις \displaystyle{p_{1,2}=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{2}=2\pm\sqrt{2}}.

Τελικά, τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle{BC} έχουν συντεταγμένες \displaystyle{B\left(2+\sqrt{2}, \dfrac{1}{2+\sqrt{2}}\right), C\left(2-\sqrt{2}, \dfrac{1}{2-\sqrt{2}}\right)}.

Επεξεργασία: Αλλαγή στην ονομασία των σημείων \displaystyle{B} και \displaystyle{C}, λόγω επεξεργασίας του σχήματος από τον Doloros.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης