Υπερβολικό σημείο επιφάνειας
Συντονιστής: matha
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Υπερβολικό σημείο επιφάνειας
Να αποδειχθεί ότι σε ένα υπερβολικό σημείο μιας κανονικής επιφάνειας στον , οι κύριες διευθύνσεις διχοτομούν τις ασυμπτωτικές διευθύνσεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 24, 2015 9:12 am
Re: Υπερβολικό σημείο επιφάνειας
Αν μοναδιαία διανύσματα προς τις δυό κύριες διευθύνσεις και η γωνία που διαγράφει μια ασυμπτωτική διεύθυνση με μία κύρια διεύθυνση (wlog. ) τότε από τον τύπο Euler για την κάθετη καμπυλότητα (αυτόν εδώ) αφού βρισκόμαστε σε ασυμπτωτική διεύθυνση. Άρα (το σημείο είναι υπερβολικό επομένως η Gaussian ) και , επομένως οι γωνίες βρίσκονται επίσης σε ασυμπτωτικές διευθύνσεις, δηλαδή οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις διχοτομούνται από τις κύριες διευθύνσεις (όπως δείχνει το σύστημα αναφοράς μας ).
Το υπερβολικό σημείο εξασφαλίζει την ύπαρξη ακριβώς δύο ασυμπτωτικών διευθύνσεων (για παραβολικά και άλλα σημεία οι διευθύνσεις μπορεί να είναι άπειρες, μία ή καμία)
Το υπερβολικό σημείο εξασφαλίζει την ύπαρξη ακριβώς δύο ασυμπτωτικών διευθύνσεων (για παραβολικά και άλλα σημεία οι διευθύνσεις μπορεί να είναι άπειρες, μία ή καμία)
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Υπερβολικό σημείο επιφάνειας
Στο "ίδιο μήκος κύματος" με την απόδειξη του τύπου για κάθετη καμπυλότητα:
Έστω τυχόν υπερβολικό σημείο στην επιφάνεια ; επομένως και υπάρχουν ακριβώς δύο ασυμπτωτικές διευθύνσεις στο . Έστω η αντίστοιχη ιδιοβάση του . Τότε για τυχούσα διεύθυνση με και την γωνία που σχηματίζουν τα , ισχύει
Έστωσαν οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις στο και οι αντίστοιχες γωνίες που σχηματίζουν με το .
Τότε
Επίσης, επειδή , έπεται ότι και οι γωνίες που σχηματίζουν τα με το είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Άρα οι κύριες διευθύνσεις διχοτομούν τις ασυμπτωτικές διευθύνσεις σε τυχόν υπερβολικό σημείο μιας επιφάνειας.
Έστω τυχόν υπερβολικό σημείο στην επιφάνεια ; επομένως και υπάρχουν ακριβώς δύο ασυμπτωτικές διευθύνσεις στο . Έστω η αντίστοιχη ιδιοβάση του . Τότε για τυχούσα διεύθυνση με και την γωνία που σχηματίζουν τα , ισχύει
Έστωσαν οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις στο και οι αντίστοιχες γωνίες που σχηματίζουν με το .
Τότε
Επίσης, επειδή , έπεται ότι και οι γωνίες που σχηματίζουν τα με το είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Άρα οι κύριες διευθύνσεις διχοτομούν τις ασυμπτωτικές διευθύνσεις σε τυχόν υπερβολικό σημείο μιας επιφάνειας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες