Υπερβολικό σημείο επιφάνειας

#1

Να αποδειχθεί ότι σε ένα υπερβολικό σημείο μιας κανονικής επιφάνειας στον $\mathbb{R}^3$ , οι κύριες διευθύνσεις διχοτομούν τις ασυμπτωτικές διευθύνσεις.

trefoil_knot · #2

Αν

μοναδιαία διανύσματα προς τις δυό κύριες διευθύνσεις και $\theta$ η γωνία που διαγράφει μια ασυμπτωτική διεύθυνση με μία κύρια διεύθυνση (wlog. e_1

) τότε από τον τύπο Euler για την κάθετη καμπυλότητα (αυτόν εδώ) $\kappa = k_1cos^2\theta + k_2sin^2\theta = 0$ αφού βρισκόμαστε σε ασυμπτωτική διεύθυνση. Άρα $tan^2\theta = -\frac{k_1}{k_2}$ (το σημείο είναι υπερβολικό επομένως η Gaussian K = k_1 k_2 < 0

) και $tan^2\theta = tan^2(\pi - \theta) = tan^2(-\theta) = tan^2(\pi + \theta)$ , επομένως οι γωνίες $\pi - \theta, -\theta, \pi + \theta$ βρίσκονται επίσης σε ασυμπτωτικές διευθύνσεις, δηλαδή οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις διχοτομούνται από τις κύριες διευθύνσεις (όπως δείχνει το σύστημα αναφοράς μας (e_1, e_2)

).

Το υπερβολικό σημείο εξασφαλίζει την ύπαρξη ακριβώς δύο ασυμπτωτικών διευθύνσεων (για παραβολικά και άλλα σημεία οι διευθύνσεις μπορεί να είναι άπειρες, μία ή καμία)

#3

Στο "ίδιο μήκος κύματος" με την απόδειξη του τύπου για κάθετη καμπυλότητα:

Έστω

τυχόν υπερβολικό σημείο στην επιφάνεια

; επομένως $K(p)=\kappa_1(p)\,\kappa_2(p)<0$ και υπάρχουν ακριβώς δύο ασυμπτωτικές διευθύνσεις στο

. Έστω $\{{\rm{e}}_1,\,{\rm{e}}_2\}$ η αντίστοιχη ιδιοβάση του T_pS

. Τότε για τυχούσα διεύθυνση $w=\cos\theta\,{\rm{e}}_1+\sin\theta\,{\rm{e}}_2$ με |w|=1

και $\theta$ την γωνία που σχηματίζουν τα ${\rm{e}}_1,\,w$ , ισχύει

$\begin{aligned} \kappa_n(w)&={\bf{II}}_{p}(w)=\langle{L_p(w),\,w}\rangle\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\big\langle{L_{p}(\cos\theta\,{\rm{e}}_1+\sin\theta\,{\rm{e}}_2),\,\cos\theta\,{\rm{e}}_1+\sin\theta\,{\rm{e}}_2}\big\rangle\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\cos^2\theta\,\langle{L_p({\rm{e}}_1),\,{\rm{e}}_1}\rangle+\cos\theta\sin\theta\,\langle{L_p({\rm{e}}_1),\,{\rm{e}}_2}\rangle\,+\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\hspace{1.5cm}\cos\theta\sin\theta\,\langle{L_p({\rm{e}}_2),\,{\rm{e}}_1}\rangle+\sin^2\theta\,\langle{L_p({\rm{e}}_2),\,{\rm{e}}_2}\rangle\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\cos^2\theta\,\langle{\kappa_1{\rm{e}}_1,\,{\rm{e}}_1}\rangle+\cos\theta\sin\theta\,\langle{\kappa_1{\rm{e}}_1,\,{\rm{e}}_2}\rangle\,+\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\hspace{1.5cm}\cos\theta\sin\theta\,\langle{\kappa_2{\rm{e}}_2,\,{\rm{e}}_1}\rangle+\sin^2\theta\,\langle{\kappa_2{\rm{e}}_2,\,{\rm{e}}_2}\rangle\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\kappa_1\cos^2\theta\,\cancelto{1}{\langle{{\rm{e}}_1,\,{\rm{e}}_1}\rangle}+\kappa_1\cos\theta\sin\theta\,\cancelto{0}{\langle{{\rm{e}}_1,\,{\rm{e}}_2}\rangle}\,+\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\hspace{1.5cm}\kappa_2\cos\theta\sin\theta\,\cancelto{0}{\langle{{\rm{e}}_2,\,{\rm{e}}_1}\rangle}+\kappa_2\sin^2\theta\,\cancelto{1}{\langle{{\rm{e}}_2,\,{\rm{e}}_2}\rangle}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \kappa_n(w)&=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta\quad{\footnotesize{\text{(1)}}}\,. \end{aligned}$

Έστωσαν $w_1,\,w_2$ οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις στο

και $\theta_1\,,\,\theta_2$ οι αντίστοιχες γωνίες που σχηματίζουν με το ${\rm{e}}_1$ .

: hypoint.png (11.96 KiB) Προβλήθηκε 1440 φορές

Τότε

$\begin{aligned} \kappa_n(w_1)=\kappa_n(w_2)=0\quad&\stackrel{(1)}{\Longrightarrow}\quad \kappa_1\cos^2\theta_1+\kappa_2\sin^2\theta_1=\kappa_1\cos^2\theta_2+\kappa_2\sin^2\theta_2=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad \tan^2\theta_1=\tan^2\theta_2=\frac{\kappa_2}{\kappa_1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad \tan\theta_1=\pm\tan\theta_2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad \theta_1=\theta_2\quad\vee\quad \theta_1=\pi-\theta_2\,. \end{aligned}$

Επίσης, επειδή ${\rm{e}}_1\perp{\rm{e}}_2$ , έπεται ότι και οι γωνίες που σχηματίζουν τα $w_1,\,w_2$ με το ${\rm{e}}_2$ είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Άρα οι κύριες διευθύνσεις διχοτομούν τις ασυμπτωτικές διευθύνσεις σε τυχόν υπερβολικό σημείο μιας επιφάνειας.

Υπερβολικό σημείο επιφάνειας

Υπερβολικό σημείο επιφάνειας

Re: Υπερβολικό σημείο επιφάνειας

Re: Υπερβολικό σημείο επιφάνειας

Μέλη σε σύνδεση