Διαφορική δομή στον χώρο πηλίκο

BAGGP93 · #1

Θεωρούμε τον ορθό κυκλικό κύλινδρο $\displaystyle{C=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2=1\,,z\in\mathbb{R}}\right\}}$ .

Στο σύνολο αυτό θεωρούμε τη σχέση ισοδυναμίας που ορίζεται ως εξής :

$\displaystyle{\forall\,(x,y,z)\,,(x',y',z')\in C: (x,y,z)\sim (x',y',z')\iff (x,y,z)\parallel (x',y',z')\,\,\land ||(x,y,z)||=||(x',y',z')||}$ .

Ουσιαστικά, $\displaystyle{\left[(x,y,z)\right]_{\sim}=\left\{(x,y,z),(-x,-y,-z)\right\}\subseteq C\,,\forall\,(x,y,z)\in C}$ (ταυτίζουμε τα αντίθετα).

Δείξτε ότι ο πηλικοχώρος $\displaystyle{C/\sim}$ αποκτά δομή διαφορίσιμου πολυπτύγματος.

(εκτεινόμενη επ'απειρον ταινία του Möbius)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ευάγγελε δεν βάζεις την λύση.
Είναι πολύ καιρό χωρίς λύση.

BAGGP93 · #4

Γεια χαρά κύριε Σταύρο.

Δεν έχω κάποια λύση, γι'αυτό την είχα ανεβάσει την άσκηση. Βέβαια, έχω στο μυαλό μου να περάσω από τον κύλινδρο ως πολλαπλότητα

στο σύνολο-πηλίκο και να ορίσουμε εκεί διαφορική δομή μέσω της κανονικής προβολής, όπως στον προβολικό χώρο.

Διαφορική δομή στον χώρο πηλίκο

Διαφορική δομή στον χώρο πηλίκο

Re: Διαφορική δομή στον χώρο πηλίκο

Re: Διαφορική δομή στον χώρο πηλίκο

Re: Διαφορική δομή στον χώρο πηλίκο

Μέλη σε σύνδεση