Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Tolaso J Kos · #1

Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
$\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
$\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}$

Δεν ξέρω αλλά το ερώτημα μάλλον προσανατολίζεται στην τομή τριών

ορθών (όχι ορθοκανονικών) κυλίνδρων των οποίων οι κυρτές επιφάνειες ορίζονται

από τις δοθείσες εξισώσεις.

Έτσι στο σχήμα:

: Κύλινδροι 1.PNG (21.9 KiB) Προβλήθηκε 2162 φορές

που είναι φτιαγμένο με το λογισμικό geogebra παριστά την τομή των τριών ανωτέρω κυλινδρικών επιφανειών

και περιορίστηκε στην περίπτωση όπου οι τρεις κύλινδροι που προκύπτουν εχουν μοναδιαία ακτίνα και ύψος ίσο

με $\displaystyle{h=2}$

Το πανέμορφο αυτό στερεό αποτελείται από έξι κύκλους με μοναδιαία ακτίνα και από εικοσιτέσσερα "τριγωνικά καμπύλα τμήματα"

ίσα μεταξύ των. Άρα το εμβαδόν είναι:

$\displaystyle{E=6\pi +24m}$

όπου $\displaystyle{m}$ είναι το εμβαδόν ενός από αυτά τα "τριγωνικά καμπύλα τμήματα".

Ο υπολογισμός του $\displaystyle{m}$ χρήζει μάλλον ανώτερο λογισμό.

Κώστας Δόρτσιος

Tolaso J Kos · #3

κ. Κώστα μόλις είδα την απάντησή σας την ώρα που πήγα να κάνω επαναφορά το θέμα.
Ναι, το πανέμορφο αυτό στερεό είναι αυτό που δώσατε. Μία διαφορετική οπτική θα μπορούσε να 'ναι το παρακάτω σχήμα:

: pb6iTh4.jpg (18.09 KiB) Προβλήθηκε 2123 φορές

Δίδω την απάντηση και όχι τη λύση (ακόμα). Ο όγκος είναι ίσος με $\displaystyle{V=8\left(2-\sqrt{2} \right)}$ .

#4

Tolaso J Kos έγραψε:Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
$\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}$

Αποστόλη, μετά και την ανάρτηση του όμορφου δεύτερου σχήματος ας συνεχίσουμε....

Θυμίζω ότι ο τύπος του συνολικού εμβαδού από την πρώτη μου ανάρτηση είναι:

$\displaystyle{E=6\pi +24m\ \ (1)}$

όπου $\displaystyle{m}$ το εμβαδόν του ενός από τα εικοσιτέσσερα "τριγωνικά καμπύλα τμήματα".

κι ακόμα ότι οι κύλινδροι έχουν ακτίνα ίση με μονάδα και ύψος ίσο με δύο.

Οι τομές των κυλίνδρων αυτών είναι ελλείψεις, τέμνονται αυτοί κάθετα και τέλος οι ελλείψεις αυτές

δημιουργούνται από τις τομές του κάθε κυλίνδρου από τα τρία διχοτομούντα επίπεδα της

τρίεδρης στερεάς γωνίας που δημιουργείται από το τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς $\displaystyle{xOy}$ .

Ας δούμε τώρα έναν από τους τρεις αυτούς κυλίνδρους με τις τομές που αναφέραμε:

: Τομή κυλίνδρων.3.PNG (20.41 KiB) Προβλήθηκε 2082 φορές

Στο σχήμα αυτό διακρίνουμε τις δύο ελλείψεις(κόκκινες γραμμές) που είναι οι τομές με τους δύο άλλους

κυλίνδρους και το γραμμοσκιασμένο "τριγωνικό καμπύλο τμήμα" $\displaystyle{(KLM)}$ (κόκκινο) το οποίο λόγω της συμμετρίας είναι το μισό

από τη ζητούμενη τιμή $\displaystyle{m}$ .

Ο υπολογισμός του εμβαδού αυτού του τμήματος, που είναι μέρος της κυλινδρικής επιφάνειας, θα γίνει σε επόμενο μήνυμα.

Κώστας Δόρτσιος

#5

Tolaso J Kos έγραψε:Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
$\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}$

(Συνέχεια..)
Για τον τελικό υπολογισμό εργαζόμαστε για καλύτερη εποπτεία στο σχήμα:

: Τομή Κυλίνδρων 4.PNG (42.54 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του διπλού ολοκληρώματος που δίνει το εμβαδόν μιας επιφάνειας στο χώρο:

$\displaystyle{E(KLM)=\iint_{(K_1L_1M)}\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}}\ \ dxdy \ \ (1)$

όπου

$\displaystyle{z=\sqrt{1-x^2}}$

η συνάρτηση της επιφάνειας $\displaystyle{(KLM)}$ (κόκκινη)

και $\displaystyle{(K_1L_1M)}$ η επιφάνεια, ο τόπος ολοκλήρωσης που είναι η προβολή στο επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ της ζητούμενης $\displaystyle{(KLM)}$ .

Το τρίγωνο $\displaystyle{(K_1L_1M)}$ είναι ορθογώνιο στην κορυφή $\displaystyle{L_1}$ και η κορυφή $\displaystyle{M}$ έχει συντεταγμένες προφανώς τις $\displaystyle{(1,1,0)}$

Ακόμα οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{K}$ της τομής δηλαδή των δύο ελλείψεων βρίσκεται από τη λύση του συστήματος:

$\displaystyle{x=y, \ \ y=z \ \ x^2+y^2=1}$

και εύκολα βρίσκονται ότι είναι: $\displaystyle{K(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{ \sqrt{2}}{2})}$

Άρα θα είναι ακόμα: $\displaystyle{K_1(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},0),\ \ L_1(\frac{\sqrt{2}}{\displaystyle 2},1,0)}$

Ύστερα από αυτά και λειτουργώντας στον τύπο (1) θα έχουμε:

$\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, \ \ \ \ \ \ \frac{\partial z}{\partial y}=0 }$

Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα μετά από πράξεις γίνεται:

$\displaystyle{E(KLM)=\iint_{(K_1L_1M)}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxdy=\displaystyle \int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\cdot \int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1 dy\ \ (2)$

Τα απλά και ορισμένα ολοκληρώματα του τελευταίου μέλους της σχέσης (2) εύκολα υπολογίζονται και είναι μετά από πράξεις:

$\displaystyle{\int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{\pi}{4},\ \ \ \ \int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1 dy=1-\frac{\sqrt{2}}{2} \ \ (3)}$

Μετά από τις σχέσεις (3) το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle{E(K_1L_1M)=\frac{\pi}{8}({2-\sqrt{2}})}$

Άρα το ζητούμενο $\displaystyle{m}$ από το πρώτο και δεύτερο μήνυμά μου, δηλαδή το "εμβαδόν του τριγωνικού τμήματος" θα είναι:

$\displaystyle{m=2E(K_1L_1M)=\frac{\pi}{4}(2-\sqrt{2}) \ \ (4)}$

Τελικά το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του όμορφου αυτού στερεού θα είναι από τον τύπο (1) του πρώτου μηνύματός μου:

$\displaystyle{E=6\pi+24m=...=6\pi(3-\sqrt{2})}$

Κώστας Δόρτσιος

ttheodoros · #6

Πρέπει να υπάρχει κάποιο λάθος στον υπολογισμό καθώς η απάντηση που είδα σε μερικά βιβλία για το πρόβλημα αυτό δεν είναι συναρτήσει του $\pi.$

Tolaso J Kos · #7

ttheodoros έγραψε:Πρέπει να υπάρχει κάποιο λάθος στον υπολογισμό καθώς η απάντηση που είδα σε μερικά βιβλία για το πρόβλημα αυτό δεν είναι συναρτήσει του $\pi.$

Η απάντηση που έχω δει και έχω δώσει πάνω είναι $8 \left (2 - \sqrt{2} \right)$ που πράματι δεν είναι συναρτήσει του $\pi$ . Μάλλον έχει γίνει κάποιο λαθάκι στις πράξεις πάνω.

Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Μέλη σε σύνδεση