Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

Συντονιστής: matha

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 08, 2015 10:52 am

Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Αύγ 21, 2015 9:31 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}
Δεν ξέρω αλλά το ερώτημα μάλλον προσανατολίζεται στην τομή τριών

ορθών (όχι ορθοκανονικών) κυλίνδρων των οποίων οι κυρτές επιφάνειες ορίζονται

από τις δοθείσες εξισώσεις.


Έτσι στο σχήμα:
Κύλινδροι 1.PNG
Κύλινδροι 1.PNG (21.9 KiB) Προβλήθηκε 1208 φορές
που είναι φτιαγμένο με το λογισμικό geogebra παριστά την τομή των τριών ανωτέρω κυλινδρικών επιφανειών

και περιορίστηκε στην περίπτωση όπου οι τρεις κύλινδροι που προκύπτουν εχουν μοναδιαία ακτίνα και ύψος ίσο

με \displaystyle{h=2}

Το πανέμορφο αυτό στερεό αποτελείται από έξι κύκλους με μοναδιαία ακτίνα και από εικοσιτέσσερα "τριγωνικά καμπύλα τμήματα"

ίσα μεταξύ των. Άρα το εμβαδόν είναι:

\displaystyle{E=6\pi +24m}

όπου \displaystyle{m} είναι το εμβαδόν ενός από αυτά τα "τριγωνικά καμπύλα τμήματα".

Ο υπολογισμός του \displaystyle{m} χρήζει μάλλον ανώτερο λογισμό.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 25, 2015 9:35 pm

κ. Κώστα μόλις είδα την απάντησή σας την ώρα που πήγα να κάνω επαναφορά το θέμα.
Ναι, το πανέμορφο αυτό στερεό είναι αυτό που δώσατε. Μία διαφορετική οπτική θα μπορούσε να 'ναι το παρακάτω σχήμα:
pb6iTh4.jpg
pb6iTh4.jpg (18.09 KiB) Προβλήθηκε 1169 φορές
Δίδω την απάντηση και όχι τη λύση (ακόμα). Ο όγκος είναι ίσος με \displaystyle{V=8\left(2-\sqrt{2} \right)}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Αύγ 26, 2015 4:23 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}
Αποστόλη, μετά και την ανάρτηση του όμορφου δεύτερου σχήματος ας συνεχίσουμε....

Θυμίζω ότι ο τύπος του συνολικού εμβαδού από την πρώτη μου ανάρτηση είναι:

\displaystyle{E=6\pi +24m\  \ (1)}

όπου \displaystyle{m} το εμβαδόν του ενός από τα εικοσιτέσσερα "τριγωνικά καμπύλα τμήματα".

κι ακόμα ότι οι κύλινδροι έχουν ακτίνα ίση με μονάδα και ύψος ίσο με δύο.

Οι τομές των κυλίνδρων αυτών είναι ελλείψεις, τέμνονται αυτοί κάθετα και τέλος οι ελλείψεις αυτές

δημιουργούνται από τις τομές του κάθε κυλίνδρου από τα τρία διχοτομούντα επίπεδα της

τρίεδρης στερεάς γωνίας που δημιουργείται από το τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς \displaystyle{xOy}.

Ας δούμε τώρα έναν από τους τρεις αυτούς κυλίνδρους με τις τομές που αναφέραμε:
Τομή κυλίνδρων.3.PNG
Τομή κυλίνδρων.3.PNG (20.41 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές
Στο σχήμα αυτό διακρίνουμε τις δύο ελλείψεις(κόκκινες γραμμές) που είναι οι τομές με τους δύο άλλους

κυλίνδρους και το γραμμοσκιασμένο "τριγωνικό καμπύλο τμήμα" \displaystyle{(KLM)} (κόκκινο) το οποίο λόγω της συμμετρίας είναι το μισό

από τη ζητούμενη τιμή \displaystyle{m}.

Ο υπολογισμός του εμβαδού αυτού του τμήματος, που είναι μέρος της κυλινδρικής επιφάνειας, θα γίνει σε επόμενο μήνυμα.

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Αύγ 27, 2015 5:29 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Βρείτε το εμβαδόν 3 ορθοκανονικών , τεμνόμενων κυλίνδρων με εξισώσεις:
\displaystyle{\begin{aligned}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{aligned}}
(Συνέχεια..)
Για τον τελικό υπολογισμό εργαζόμαστε για καλύτερη εποπτεία στο σχήμα:
Τομή Κυλίνδρων 4.PNG
Τομή Κυλίνδρων 4.PNG (42.54 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του διπλού ολοκληρώματος που δίνει το εμβαδόν μιας επιφάνειας στο χώρο:

\displaystyle{E(KLM)=\iint_{(K_1L_1M)}\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}}\ \ dxdy \  \  (1)

όπου

\displaystyle{z=\sqrt{1-x^2}}

η συνάρτηση της επιφάνειας \displaystyle{(KLM)} (κόκκινη)

και \displaystyle{(K_1L_1M)} η επιφάνεια, ο τόπος ολοκλήρωσης που είναι η προβολή στο επίπεδο \displaystyle{xOy} της ζητούμενης \displaystyle{(KLM)}.

Το τρίγωνο \displaystyle{(K_1L_1M)} είναι ορθογώνιο στην κορυφή \displaystyle{L_1} και η κορυφή \displaystyle{M} έχει συντεταγμένες προφανώς τις \displaystyle{(1,1,0)}

Ακόμα οι συντεταγμένες του σημείου \displaystyle{K} της τομής δηλαδή των δύο ελλείψεων βρίσκεται από τη λύση του συστήματος:

\displaystyle{x=y, \  \ y=z \  \ x^2+y^2=1}

και εύκολα βρίσκονται ότι είναι: \displaystyle{K(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{ \sqrt{2}}{2})}

Άρα θα είναι ακόμα: \displaystyle{K_1(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},0),\  \ L_1(\frac{\sqrt{2}}{\displaystyle 2},1,0)}

Ύστερα από αυτά και λειτουργώντας στον τύπο (1) θα έχουμε:

\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, \  \  \  \ \  \ \frac{\partial z}{\partial y}=0 }

Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα μετά από πράξεις γίνεται:

\displaystyle{E(KLM)=\iint_{(K_1L_1M)}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxdy=\displaystyle \int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\cdot \int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1 dy\  \  (2)

Τα απλά και ορισμένα ολοκληρώματα του τελευταίου μέλους της σχέσης (2) εύκολα υπολογίζονται και είναι μετά από πράξεις:

\displaystyle{\int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{\pi}{4},\  \  \  \ \int_{\frac{\displaystyle\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}^1 dy=1-\frac{\sqrt{2}}{2} \  \ (3)}

Μετά από τις σχέσεις (3) το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

\displaystyle{E(K_1L_1M)=\frac{\pi}{8}({2-\sqrt{2}})}

Άρα το ζητούμενο \displaystyle{m} από το πρώτο και δεύτερο μήνυμά μου, δηλαδή το "εμβαδόν του τριγωνικού τμήματος" θα είναι:

\displaystyle{m=2E(K_1L_1M)=\frac{\pi}{4}(2-\sqrt{2}) \  \ (4)}

Τελικά το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του όμορφου αυτού στερεού θα είναι από τον τύπο (1) του πρώτου μηνύματός μου:

\displaystyle{E=6\pi+24m=...=6\pi(3-\sqrt{2})}

Κώστας Δόρτσιος


ttheodoros
Δημοσιεύσεις: 69
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 21, 2010 4:28 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία - Κύπρος

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ttheodoros » Σάβ Ιούλ 15, 2017 9:40 pm

Πρέπει να υπάρχει κάποιο λάθος στον υπολογισμό καθώς η απάντηση που είδα σε μερικά βιβλία για το πρόβλημα αυτό δεν είναι συναρτήσει του \pi.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν 3 κυλίνδρων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 22, 2017 7:32 pm

ttheodoros έγραψε:Πρέπει να υπάρχει κάποιο λάθος στον υπολογισμό καθώς η απάντηση που είδα σε μερικά βιβλία για το πρόβλημα αυτό δεν είναι συναρτήσει του \pi.
Η απάντηση που έχω δει και έχω δώσει πάνω είναι 8 \left (2 - \sqrt{2} \right) που πράματι δεν είναι συναρτήσει του \pi. Μάλλον έχει γίνει κάποιο λαθάκι στις πράξεις πάνω. :)


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης