Στροφή ευθείας σε ευθεία

Συντονιστής: matha

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2539
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Στροφή ευθείας σε ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Ιαν 22, 2014 2:34 am

Με αφορμή αυτό:

Να υπολογισθεί η γωνία στροφής, περί άξονα L, ευθείας \epsilon σε ευθεία {\epsilon }' (συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων των τριών ευθειών για παράδειγμα).

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7849
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Στροφή ευθείας σε ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Απρ 24, 2014 5:03 pm

Έστω \mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{u}' τα μοναδιαία διανύσματα των L,\epsilon και \epsilon' αντίστοιχα.

Ας θυμηθούμε (*) ότι ο τύπος της περιστροφής κατά γωνία \alpha γύρω από τον άξονα L είναι

\displaystyle{ \mathbf{x} \mapsto (\cos{\alpha}) \mathbf{x} + (\sin{\alpha}) \mathbf{v} \wedge \mathbf{x} + (1-\cos{\alpha}) (\mathbf{v} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{v}.}

Άρα

\mathbf{u}' = \displaystyle{(\cos{\alpha}) \mathbf{u} + (\sin{\alpha}) \mathbf{v} \wedge \mathbf{u} + (1-\cos{\alpha}) (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{v}.}

Παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο με το \mathbf{u} και από τις δύο πλευρές έχουμε

\displaystyle{ \mathbf{u}' \cdot \mathbf{u} = \cos{\alpha} + (1 - \cos{\alpha})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})^2.}

Επομένως είναι

\displaystyle{ \cos{\alpha} = \left( \frac{\mathbf{u}' \cdot \mathbf{u}  - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})^2}{1 - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})^2}\right)}

Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται (από Cauchy-Schwarz) εκτός και αν ο άξονας L και η ευθεία \varepsilon ταυτίζονται.

Επίσης παίρνοντας στην προηγούμενη εξίσωση εσωτερικό γινόμενο με το \mathbf{v} \wedge \mathbf{u} και καταλήγουμε στο

\displaystyle{ \sin{\alpha} = \frac{\mathbf{u}' \cdot (\mathbf{v} \wedge \mathbf{u})}{\|\mathbf{v} \wedge \mathbf{u}\|^2} }

Τα πρόσημα των \cos{\alpha} και \sin{\alpha} θα μας δώσουν και σε πιο τετραρτημόριο ανοίκει η γωνία οπότε θα την έχουμε προσδιορίσει πλήρως.

(*) Εδώ ζητώ να αποδειχθεί αυτός ο τύπος.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2539
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Στροφή ευθείας σε ευθεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Οκτ 22, 2017 12:24 pm

Δεν θυμάμαι τι ακριβώς είχα κατά νου πριν τρία χρόνια, και γιατί δεν δημοσίευσα τότε την όποια λύση μου (σίγουρα διαφορετική από την λύση του Δημήτρη). Με την ευκαιρία της έμμεσης ανακίνησης του θέματος από τον Σταύρο (εδώ) επανέρχομαι:

Αν \alpha η γωνία στροφής, \gamma η γωνία ανάμεσα στις \epsilon και \epsilon ', και \theta η γωνία ανάμεσα στις L και \epsilon (που είναι βέβαια ίδια με την γωνία ανάμεσα στις L και \epsilon '), τότε

cos\alpha =\dfrac{cos\gamma -cos^2\theta}{sin^2\theta}.

Όλα ανάγονται στο συνημμένο σχήμα και σε εφαρμογή του Νόμου Συνημιτόνων στα τρίγωνα OPQ και OAB, όπου OP, OQ οι προβολές των \epsilon, \epsilon ' επί του καθέτου προς την L επιπέδου και |OA|=|OB|, |OP|=|OQ|=|OA|sin\theta, |PQ|=|AB|: πράγματι, από τις |PQ|^2=2|OP|^2-2|OP|^2cos\alpha και |AB|^2=2|OA|^2-2|OA|^2cos\gamma προκύπτει ο παραπάνω τύπος.
Συνημμένα
Lεε'.png
Lεε'.png (5.71 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης