Ασκήσεις Τοπολογίας
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
8) Έστω όπου , .
Δείξτε ότι το είναι κλειστό και φραγμένο στον όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον .
Δείξτε ότι το είναι κλειστό και φραγμένο στον όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
α) Το φραγμένο τετριμμένο αφού . Αν ομοιόμορφα, τότε πρώτα απ' όλα . Τώρα, το σύνολο των δεικτών δεν μπορεί να είναι μη φραγμένο γιατί θα είχε υπακολουθία . Αλλά τότε για κάθε θα είχαμε . Αλλά αυτό αντιβαίνει στην συνέχεια της στο . Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η συγκλίνει), η είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του .
β) Μη συμπάγεια: Ουσιαστικά το είπαμε καθώς κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία της έχει κατά σημείο όριο την μη συνεχή που είδαμε, αρά δεν υπάρχει ομοιόμορφα συγκλίνουσα υπακολουθία της.
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Πολύ ωραία λύση. Ευχαριστούμε κύριε Λάμπρου.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 amα) Το φραγμένο τετριμμένο αφού . Αν ομοιόμορφα, τότε πρώτα απ' όλα . Τώρα, το σύνολο των δεικτών δεν μπορεί να είναι μη φραγμένο γιατί θα είχε υπακολουθία . Αλλά τότε για κάθε θα είχαμε . Αλλά αυτό αντιβαίνει στην συνέχεια της στο . Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η συγκλίνει), η είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του .
β) Μη συμπάγεια: Ουσιαστικά το είπαμε καθώς κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία της έχει κατά σημείο όριο την μη συνεχή που είδαμε, αρά δεν υπάρχει ομοιόμορφα συγκλίνουσα υπακολουθία της.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Ας δούμε μία παραλλαγή του συλλογισμού σε αυτό το σημείο, που κάνει λίγο πιο καθαρό το συμπέρασμα:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 amΤελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η συγκλίνει), η είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του .
Αφού η ακολουθία έχουν έχει πεπερασμένες το πλήθος τιμές, κάποια από αυτές επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Ας ονομάσουμε τους όρους της που παίρνουν αυτή την κοινή τιμή, δηλαδή .
Είναι τότε , όπως θέλαμε.
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Ναι και εγώ αυτό σκέφτηκα όταν διάβαζα την πρώτη σας απόδειξη.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 20, 2020 11:40 pmΑς δούμε μία παραλλαγή του συλλογισμού σε αυτό το σημείο, που κάνει λίγο πιο καθαρό το συμπέρασμα:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 amΤελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η συγκλίνει), η είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του .
Αφού η ακολουθία έχουν έχει πεπερασμένες το πλήθος τιμές, κάποια από αυτές επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Ας ονομάσουμε τους όρους της που παίρνουν αυτή την κοινή τιμή, δηλαδή .
Είναι τότε , όπως θέλαμε.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Καλησπέρα.Μια άλλη ιδέα είναι η ακόλουθη
Συνεπώς, ο είναι μια συνεχής απεικόνιση μεταξύ μετρικών χώρων. Για κάθε υπολογίζουμε .
Επομένως, αν το ήταν συμπαγές στον , θα ήταν και το συμπαγές στον . Όμως,
, το οποίο δεν είναι συμπαγές
αφού δεν είναι κλειστό.
Θεωρούμε τον τελεστή ο οποίος είναι γραμμικός και ισχύει (άρα φραγμένος)
Συνεπώς, ο είναι μια συνεχής απεικόνιση μεταξύ μετρικών χώρων. Για κάθε υπολογίζουμε .
Επομένως, αν το ήταν συμπαγές στον , θα ήταν και το συμπαγές στον . Όμως,
, το οποίο δεν είναι συμπαγές
αφού δεν είναι κλειστό.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Ας δούμε και αλλιώς την μη-συμπάγεια στην άσκηση 8). Πάμε από τον ορισμό.
Προφανώς . Δεν μπορεί πεπερασμένα το πλήθος από τα να καλύπτουν τον γιατί τότε κάποια από τις μπάλες αυτές θα περιείχε άπειρες από τις . Έστω η συγκεκριμένη μπάλα.
Τότε για άπειρα θα ίσχυε για κάθε
οπότε
Παίρνοντας όριο (μέσω των άπειρων που προαναφέραμε), θα είχαμε
.
Αυτό είναι άτοπο γιατί παίρνοντας όριο θα είχαμε . Και λοιπά.
Προφανώς . Δεν μπορεί πεπερασμένα το πλήθος από τα να καλύπτουν τον γιατί τότε κάποια από τις μπάλες αυτές θα περιείχε άπειρες από τις . Έστω η συγκεκριμένη μπάλα.
Τότε για άπειρα θα ίσχυε για κάθε
οπότε
Παίρνοντας όριο (μέσω των άπειρων που προαναφέραμε), θα είχαμε
.
Αυτό είναι άτοπο γιατί παίρνοντας όριο θα είχαμε . Και λοιπά.
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
9) Δείξτε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι τοπολογικός χώρος.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Δεν έχει νόημα να τοποθετούμε στο φόρουμ κοινότατα θεωρήματα που υπάρχουν ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας. Ο στόχος του φόρουμ δεν είναι να ξαναγράψουμε τα χιλιογραμμένα αλλά να μένουμε σε νέα πράγματα ή ενδιαφέροντα αλλά όχι τόσο γνωστά θέματα.
Όπως και να είναι, περιληπτικά (κύρια βήματα), έστω τα δύο ξένα κλειστά. Για κάθε θεωρούμε τον αριθμό . Από κλειστότητα είναι . Κάνουμε το ανάλογο για τα , για να βρούμε αντίστοιχα . Τότε τα και κάνουν την δουλειά, δηλαδή είναι ξένα, ανοικτά και διαχωρίζουν τα .
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Έχετε δίκιο κύριε Λάμπρου. Είναι αρκετά γνωστό.
Θα προσπαθήσω από εδώ και πέρα οι ασκήσεις που βάζω να έχουν περισσότερο μαθηματικό ενδιαφέρον.
Θα προσπαθήσω από εδώ και πέρα οι ασκήσεις που βάζω να έχουν περισσότερο μαθηματικό ενδιαφέρον.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Γεωμετρικά.
Αν το ανήκει στο εσωτερικό του , τότε
Αν πάρουμε μια κλειστή καμπύλη στον που στο εσωτερικό της είναι το , τότε δεν μπορούμε να πάρουμε μια συνεχή οικογένεια συνεχών καμπυλών που να μετασχηματίζει τη αρχική καμπύλη σε σημείο χωρίς να περάσει από το (λόγω συνέχειας), άρα ο χώρος δεν είναι απλά συνεκτικός.
Αντίστροφα, αν το είναι στο , τότε ο χώρος είναι κυρτό υποσύνολο του επιπέδου και άρα είναι απλά συνεκτικός.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_space
Επειδή σε κάθε μετρικό χώρο τα κλειστά είναι
αυτός είναι completely normal
-
- Δημοσιεύσεις: 65
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
10) Έστω ο τοπολογικός χώρος που προκύπτει από τον αφαιρόντας παράλληλες ευθείες.
1. Να βρέθει η θεμελιώδης ομάδα του χώρου.
2. Να βρεθούν όλες οι ομάδες ομολογίας του χώρου.
1. Να βρέθει η θεμελιώδης ομάδα του χώρου.
2. Να βρεθούν όλες οι ομάδες ομολογίας του χώρου.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
αρα θα μπορούσαμε να πούμε οτι τα \mathbb{R}^{m} και \mathbb{R}^{n} για m>n και n\geq 1 , n,m\epsilon \mathbb{N} δεν είνα ομοιομορφικά
-
- Δημοσιεύσεις: 65
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 65
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Νομίζω πως αρχικά μπορούμε να δείξουμε ότι οι παρακάτω τοπολογικοί χώροι είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι:
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Νομίζω ότι κάτι δεν λες καλά.giannispapav έγραψε: ↑Τρί Μαρ 07, 2023 5:21 pmΝαι αφού δύο ομοιομορφικοί χώροι είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι
Για οι και είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι.
Είναι και οι δυο contractible.Δηλαδή ομοτοπικά ισοδύναμοι με ένα σημείο.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 65
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
Σίγουρα δεν τα λέω καλά. Ας κάνω άλλη μια προσπάθεια να γράψω αυτό που ήθελα να γράψω:Νομίζω ότι κάτι δεν λες καλά.
Για οι και είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι.
Είναι και οι δυο contractible.Δηλαδή ομοτοπικά ισοδύναμοι με ένα σημείο.
Αν είναι ομοιομορφισμός, τότε έχουμε ομοιομορφισμό .
Επίσης οι χώροι και είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι. Άρα έχουμε ομοτοπική ισοδυναμία και άρα .
Ελπίζω να μη μου διαφεύγει κάτι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες