Σφαιρική καμπύλη

#1

Έστω $\overrightarrow{\gamma}:I\subseteq{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}^3$ μια φυσική παραμέτρηση καμπύλης για την οποία, για κάθε $s\in I$ , ισχύουν $\dot{\kappa}(s)\neq0$ και $\tau(s)\neq0$ , όπου $\kappa(s)$ η καμπυλότητα και $\tau(s)$ η στρέψη της καμπύλης. Να αποδειχθεί ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να βρίσκεται η καμπύλη πάνω σε μια σφαίρα είναι

$\rho^2(s)+(\dot{\rho}(s))^2\,\sigma^2(s)=\sigma\tau\alpha\theta.\,,$
όπου $\rho(s)=1/\kappa(s)\,,\; \sigma(s)=1/\tau(s)\,.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Μεταφέροντας αν είναι ανάγκη την καμπύλη μπορούμε να υποθέσουμε ότι
$\gamma (s).\gamma (s)=c^2$
Παραγωγίζοντας παίρνουμε
$\gamma (s).\gamma '(s)=0$
Αν T,N,B

είναι το τρίεδρο Frenet θα έχουμε
$\gamma (s)=a(s)N(s)+b(s)B(s)$ (1)
οπου a(s),b(s)

πραγματικές συναρτήσεις,με
a^2(s)+b^2(s)=c^2

(2)

Ενα γνωστό επιχείρημα μας δίνει ότι παραγωγίζονται .
Παραγωγίζοντας την (1) χρησιμοποιώντας τις σχέσεις του Frenet και το γεγονός ότι
τα T,N,B

είναι γραμμικώς ανεξάρτητα παίρνουμε ότι
$a(s)k(s)=-1,a'(s)=\tau (s)b(s),a(s)\tau (s)+b'(s)=0$
Από τις δύο πρώτες αν κάνουμε αντικατάσταση στην (2) παίρνουμε
$(\frac{1}{k(s)})^2+((\frac{1}{k(s)})')^2 \frac{1}{(\tau (s))^2}=c^2$ (3)
που είναι η ζητούμενη σχέση.
Αντίστροφα ,έστω ότι ισχύει η (3).
Θεωρούμε την καμπύλη
$u(s)=\gamma (s)+\frac{1}{k(s)}N(s)+(\frac{1}{k(s)})'\frac{1}{\tau (s)}B(s)$ (4)
Παραγωγίζοντας και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις του Frenet παίρνουμε ότι
$u'(s)=(\frac{\tau (s)}{k(s)}+((\frac{1}{k(s)})'\frac{1}{\tau (s)})')B(s)$
Αλλά αν παραγωγίσουμε την (3) και χρησιμοποιήσουμε αυτά που δεν μηδενίζονται πα'ιρνουμε
ότι $\frac{\tau (s)}{k(s)}+((\frac{1}{k(s)})'\frac{1}{\tau (s)})'=0$
Αρα $u(s)=\vec{d}$
οπότε η (4) δίνει $|\gamma (s)-\vec{d}|^2=c^2$
που δείχνει ότι η καμπύλη είναι σφαιρική.

#3

Παραθέτω την λύση που έδωσα και που δεν διαφέρει, παρά σε λεπτομέρειες, αυτής του Σταύρου.

Έστω ότι η καμπύλη $\overrightarrow{\gamma}:I\subseteq{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}^3$ βρίσκεται πάνω σε σφαίρα με κέντρο το πέρας του $\overrightarrow{a}$ και ακτίνα

. Τότε

$\begin{aligned} \big|{\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big|^2=R^2\quad&\Rightarrow\quad\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)=R^2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad\frac{d}{ds}\Big(\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\Big)=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\overrightarrow{T}=0\qquad(1)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad\frac{d}{ds}\Big({\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\overrightarrow{T}}\Big)=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad\cancelto{1}{\dot{\overrightarrow{\gamma}}\cdot\overrightarrow{T}}+\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\dot{\overrightarrow{T}}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\overrightarrow{N}=-\frac{1}{\kappa}=-\rho\qquad(2)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad \frac{d}{ds}\Big({\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\overrightarrow{N}}\Big)=-\dot{\rho}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad\cancelto{0}{\dot{\overrightarrow{\gamma}}\cdot\overrightarrow{N}}+\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\big({-\kappa\overrightarrow{T}+\tau\overrightarrow{B}\,}\big)=-\dot{\rho}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(1)}{\Rightarrow}\quad-\kappa\cancelto{0}{\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\overrightarrow{T}}+\tau\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\overrightarrow{B}=-\dot{\rho}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad\big({\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big)\cdot\overrightarrow{B}=-\dot{\rho}\,\frac{1}{\tau}=-\dot{\rho}\,\sigma\qquad(3) \end{aligned}$

Από την (1)

έχουμε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}$ βρίσκεται στο κάθετο επίπεδο της $\overrightarrow{\gamma}$ . Επομένως

$\begin{aligned} \overrightarrow{\gamma}(s)-\overrightarrow{a}=R\cos\varphi(s)\,\overrightarrow{N}(s)+R\sin\varphi(s)\,\overrightarrow{B}(s)\qquad(4) \end{aligned}$

όπου $\varphi(s)$ η γωνία που σχηματίζει το $\overrightarrow{\gamma}(s)-\overrightarrow{a}$ με το $\overrightarrow{N}(s)$ .

Από τις (2)

και

, προκύπτουν $R\cos\varphi(s)=-\rho(s)$ και $R\sin\varphi(s)=-\dot{\rho}(s)\,\sigma(s)$ , αντίστοιχα. Άρα η (4)

γίνεται

$\begin{aligned} \overrightarrow{\gamma}(s)-\overrightarrow{a}=-\rho(s)\,\overrightarrow{N}(s)-\dot{\rho}(s)\,\sigma(s)\,\overrightarrow{B}(s)\qquad(5) \end{aligned}$

Από το ότι $\big|{\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{a}\,}\big|^2=R^2$ και την (5)

προκύπτει ότι

$\begin{aligned} \rho^2(s)+(\dot{\rho}(s))^2\,\sigma^2(s)=R^2\qquad(6) \end{aligned}$

Αντιστρόφως, έστω ότι ισχύει η (6)

. Τότε

$\begin{aligned} \frac{d}{ds}\big({\rho^2(s)+(\dot{\rho}(s))^2\,\sigma^2(s)}\big)=0\quad&\Rightarrow\quad 2\rho(s)\,\dot{\rho}(s)+\Big({\frac{d}{ds}(\dot{\rho}(s))^2}\Big)\,\sigma^2(s)+(\dot{\rho}(s))^2\frac{d}{ds}\,\sigma^2(s)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad 2\rho\,\dot{\rho}+2\dot{\rho}\,\ddot{\rho}\,\sigma^2+(\dot{\rho})^2\,2\sigma\,\dot{\sigma}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{\dot{\rho}\neq0}{\Longrightarrow}\quad \rho+\ddot{\rho}\,\sigma^2+\dot{\rho}\,\sigma\,\dot{\sigma}=0\nonumber\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{\sigma\neq0}{\Longrightarrow}\quad \frac{\rho}{\sigma}+\ddot{\rho}\,\sigma+\dot{\rho}\,\dot{\sigma}=0\qquad(7) \end{aligned}$

Θεωρούμε την συνάρτηση $\overrightarrow{a}:I\subseteq{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}^3$ με τύπο

$\overrightarrow{a}(s)=\overrightarrow{\gamma}(s)+\rho(s)\,\overrightarrow{N}(s)+\dot{\rho}(s)\,\sigma(s)\,\overrightarrow{B}(s)\,.$

Τότε

$\begin{aligned} \frac{d}{ds}\overrightarrow{a}(s)&=\dot{\overrightarrow{\gamma}}(s)+\dot{\rho}(s)\,\overrightarrow{N}(s)+\rho(s)\,\dot{\overrightarrow{N}}(s)+\Big({\frac{d}{ds}\big({\dot{\rho}(s)\,\sigma(s)}\big)}\Big)\,\overrightarrow{B}(s)+\dot{\rho}(s)\,\sigma(s)\,\dot{\overrightarrow{B}}(s)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\overrightarrow{T}+\dot{\rho}\,\overrightarrow{N}+\rho\,\big({-\kappa\overrightarrow{T}+\tau\overrightarrow{B}\,}\big)+\big({\ddot{\rho}\,\sigma+\dot{\rho}\,\dot{\sigma}}\big)\,\overrightarrow{B}-\dot{\rho}\,\sigma\,\tau\,\overrightarrow{N}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=(1-\rho\,\kappa)\,\overrightarrow{T}+(\dot{\rho}-\dot{\rho}\,\sigma\,\tau)\,\overrightarrow{N}+\big({\rho\,\tau+\ddot{\rho}\,\sigma+\dot{\rho}\,\dot{\sigma}}\big)\,\overrightarrow{B}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\Big({1-\rho\,\frac{1}{\rho}}\Big)\,\overrightarrow{T}+\Big({\dot{\rho}-\dot{\rho}\,\sigma\,\frac{1}{\sigma}}\Big)\,\overrightarrow{N}+\Big({\frac{\rho}{\sigma}+\ddot{\rho}\,\sigma+\dot{\rho}\,\dot{\sigma}}\Big)\,\overrightarrow{B}\stackrel{(7)}{=}\overrightarrow{0}\hspace{1.0cm}\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \overrightarrow{a}(s)&=\overrightarrow{a}\equiv\sigma\tau\alpha\theta\,. \end{aligned}$

Άρα
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{\gamma}(s)=\rho(s)\,\overrightarrow{N}(s)+\dot{\rho}(s)\,\sigma(s)\,\overrightarrow{B}(s)\,,$
με
$\big|{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{\gamma}(s)}\big|=\sqrt{\rho^2(s)+(\dot{\rho}(s))^2\,\sigma^2(s)}\stackrel{(6)}{=}R\,.$

Δηλαδή η καμπύλη $\gamma$ βρίσκεται πάνω σε σφαίρα με κέντρο το πέρας του $\overrightarrow{a}$ και ακτίνα

.

#4

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 15, 2022 8:15 pm
Έστω $\overrightarrow{\gamma}:I\subseteq{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}^3$ μια φυσική παραμέτρηση καμπύλης για την οποία, για κάθε $s\in I$ , ισχύουν $\dot{\kappa}(s)\neq0$ και $\tau(s)\neq0$ , όπου $\kappa(s)$ η καμπυλότητα και $\tau(s)$ η στρέψη της καμπύλης. Να αποδειχθεί ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να βρίσκεται η καμπύλη πάνω σε μια σφαίρα είναι

$\rho^2(s)+(\dot{\rho}(s))^2\,\sigma^2(s)=\sigma\tau\alpha\theta.\,,$
όπου $\rho(s)=1/\kappa(s)\,,\; \sigma(s)=1/\tau(s)\,.$

Γρηγόρη καλησπέρα...

Χωρίς να μπαίνω στην απόδειξη της ανωτέρω πρότασης, αναρτώ μερικά σχήματα από καμπύλες και μάλιστα
κλειστές οι οποίες ανήκουν πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια. Η κατασκευή τους έχει ενδιαφέρον και η μέθοδος
είναι γενική και για καμπύλες που "απλώνονται" πάνω σε δοθείσες επιφάνειες.
Την μέθοδο αυτή παρουσιάζω με αρκετά παραδείγματα στην εργασία μου για το επόμενο συνέδριο της Ελληνικής
Μαθηματικής Εταιρείας που θα γίνει στο Ναύπλιο.

1ο Σχήμα

: Σφαιρική καμπύλη 1 .png (61.66 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

2ο Σχήμα

: Σφαιρική καμπύλη 2.png (79.44 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Επιπλέον αναρτώ, για όσους αρέσκονται σε δυναμικά σχήματα και ενδιαφέρονται
γι' αυτά, τις διευθύνσεις των αρχείων αυτών.

Σφαιρ. καμπύλη 1 https://www.geogebra.org/m/rhwr5g7n

Σφαιρ. καμπύλη 2 https://www.geogebra.org/m/qf32bhsa

Κώστας Δόρτσιος

Σφαιρική καμπύλη

Σφαιρική καμπύλη

Re: Σφαιρική καμπύλη

Re: Σφαιρική καμπύλη

Re: Σφαιρική καμπύλη

Μέλη σε σύνδεση