Ανισότητα

Συντονιστής: matha

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 28, 2020 9:22 am

Έστω ο \mathbb{R}^n με το σύνηθες γινόμενο και τη συνήθη νόρμα. Αν v = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n τότε ορίζουμε \sum v = x_1 +x_2 + \cdots + x_n. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 \geq \left ( v \cdot w \right )^2 + \frac{\left ( \left \| v \right \| \left | \sum w \right | - \left \| w \right \| \left |\sum v  \right | \right )^2}{n}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2920
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 01, 2020 6:07 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 9:22 am
Έστω ο \mathbb{R}^n με το σύνηθες γινόμενο και τη συνήθη νόρμα. Αν v = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n τότε ορίζουμε \sum v = x_1 +x_2 + \cdots + x_n. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 \geq \left ( v \cdot w \right )^2 + \frac{\left ( \left \| v \right \| \left | \sum w \right | - \left \| w \right \| \left |\sum v  \right | \right )^2}{n}}
Απίθανη ενδυνάμωση της ανισότητας Cauchy-Schwarz -- ορθώς (υπο)γράφει ο Τόλης ότι "η φαντασία είναι ανώτερη από την γνώση" -- που σεμνά και ταπεινά επαναφέρω ... με απλή (φαινομενικά) απόδειξη για n=2:

Αν v=<a, b>, w=<c, d> τότε η ζητούμενη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την προφανώς ισχύουσα

\left[(ad-bc)(a+b)(c+d)\right]^2\geq 0.
[Ας συγκριθεί αυτή η ανισότητα με την ανισότητα (ad-bc)^2\geq 0 που δίνει την Cauchy-Schwarz για n=2 ... και ας μας εμπνεύσει για απόδειξη της ζητούμενης ανισότητας για n>2 :twisted: ]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 06, 2020 3:02 pm

Γιώργο θα σε εκπλήξω λέγοντας σε ότι είναι ειδική περίπτωση γενικότερης ανισότητας ...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 04, 2021 11:31 am

Θα δείξουμε τη γενικότερη ...

\displaystyle{\left ( \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v \cdot w \right )^2 \right ) \left \| u \right \|^2 \geq \left \| \left ( w, u \right ) v - \left ( v, u \right ) w \right \|^2}
όπου u \in \mathbb{R}^{n}. Παίρνοντας u=(1, 1 , \dots, 1) μας δίδει τη ζητούμενη. Αν v, w είναι γραμμικά εξαρτημένα τότε \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 = \left ( v \cdot w \right )^2 η ανισότητα ισχύει. Υποθέτουμε ότι τα v και w είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Τότε u = \alpha v + \beta w + z όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R} και z \perp vz \perp w. Επιπλέον,

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\left ( v, u \right ) & = & \alpha \left \| v \right \|^2 + \beta \left ( v, w \right ) \\\\ 
\left ( w, u \right ) & = & \alpha \left ( v, w \right ) + \beta \left \| w \right \|^2 
\end{matrix}\right.}
Λύνοντας το γραμμικό σύστημα έχουμε

\displaystyle{\alpha = \frac{\left ( v, u \right ) \left \| w \right \|^2 - \left ( w, u \right ) \left ( v, w \right )}{\left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v, w \right )^2} \quad , \quad \beta = \frac{\left ( w, u \right )\left \| u \right \|^2 - \left ( v, u \right )\left ( v, w \right )}{\left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v, w \right )^2}}
Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left ( \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v \cdot w \right )^2 \right ) \left \| u \right \|^2 &= \left ( \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v \cdot w \right )^2 \right ) \left ( \left \| \alpha v + \beta w \right \|^2 + \left \| z \right \|^2 \right ) \\ 
&\geq \left ( \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v \cdot w \right )^2 \right ) \left ( \left \| \alpha v + \beta w \right \|^2 \right ) \\ 
&= \left ( \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v \cdot w \right )^2 \right ) \left ( \alpha^2 \left \| v \right \|^2 + \beta^2 \left \| w \right \|^2 + 2\alpha \beta \left ( v, w \right ) \right ) \\ 
&= \left ( w, u \right )^2 \left \| v \right \|^2 + \left ( v, u \right ) \left \| w \right \|^2 - 2 \left ( w, u \right ) \left ( v,u \right ) \left ( v, w \right ) \\ 
&= \left \| \left ( w, u \right ) v - \left ( v, u \right )w \right \|^2 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 04, 2021 12:03 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 04, 2021 11:31 am
Θα δείξουμε τη γενικότερη ...

\displaystyle{\left ( \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 - \left ( v \cdot w \right )^2 \right ) \left \| u \right \|^2 \geq \left \| \left ( w, u \right ) v - \left ( v, u \right ) w \right \|^2}
Σχεδόν τετριμμένη αν ξέρεις τι να κάνεις.
1)Αρκεί να την δείξουμε όταν u,v,w\in \mathbb{R}^3
(γιατί ; )
2) Αλλάζοντας συντεταγμένες και λόγω ομογενειας αρκεί να πάρουμε  v=(1,0,0)
3)Αν θεωρήσουμε τα u,w με τις συντεταγμένες τους και αντικαταστήσουμε το μόνο που
χρειάζεται είναι μια C-S και μάλιστα για δύο μεταβλητές.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 04, 2021 3:42 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 04, 2021 11:31 am
Αν v, w είναι γραμμικά εξαρτημένα τότε \left \| v \right \|^2 \left \| w \right \|^2 = \left ( v \cdot w \right )^2 η ανισότητα ισχύει.
Άσκηση: Βρες το λογικό σφάλμα στο παραπάνω βήμα.

(Ευτυχώς, φτιάχνει).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης