Μέγιστο-ελάχιστο άθροισμα γωνιών

Συντονιστής: matha

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Μέγιστο-ελάχιστο άθροισμα γωνιών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιουν 03, 2020 11:48 pm

Θεωρούμε ένα κυρτό τετράπλευρο στο επίπεδο
το ABCD
Για σημείο P στο εσωτερικό του η στην περίμετρο θεωρούμε την παράσταση

\widehat{APB}+\widehat{CPD}

Να βρεθούν τα σημεία P που η παράσταση παίρνει μέγιστη τιμή
καθώς και εκείνα που παίρνει ελάχιστη τιμή.

Διευκρινήσεις
1)Αν το P βρίσκεται πάνω στο AB τότε \widehat{APB}=\pi
Αν το P ταυτιστεί με το A τότε πάλι \widehat{AAB}=\pi
2)Ο χαρακτηρισμός των σημείων P εχει να κάνει με γεωμετρικά
χαρακτηριστικά του ABCD.
Δηλαδή ο χαρακτηρισμός δεν είναι ο ίδιος για κάθε ABCD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5445
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο-ελάχιστο άθροισμα γωνιών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιουν 04, 2020 9:09 pm

Θα ήθελα να πώ ότι το πρόβλημα αυτό έχει πάρα πολλές παραμέτρους και ως εκ τούτου δεν είναι δυνατό να απαντηθεί με γενική των πραγμάτων μέθοδο. Αν π.χ. τα σημεία A,B είαι σταθερά με απόσταση |AB| να τείνει στο μηδέν τα σημεία B,C επίσης μεταξύ τους έχουν απόσταση "περίπου" μηδέν με αντίστοιχες αποστάσεις από τα σημεία A,B πολύ μεγάλες, τότε, έχουμε τάση του αθροίσματος στο 2\pi.
Θα ήθελα επίσης να αναφερθώ στην πρώτη διευκρίνηση του Σταύρου. Το σημείο P που δίνει το ελάχιστο άθροισμα είναι εκείνο που είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα D,C και εφάπτεται της AB (Απολλώνιος κατασκευή) και εφόσον το σημείο αυτό είναι σημείο του κλειστού ευθύγραμμου τμήματος AB. Άλλως και κατ' αρχάς το μέγιστο θα πρέπει να αναζητηθεί σε μία από τις κορυφές. Για το ελάχιστο άθροισμα δεν συζητώ αφού αρκεί να βρούμε το μέγιστο του αθροίσματος των άλλων δύο από τις τέσσερις γωνίες με κορυφή το P.
Τι θα λέγαμε αν θεωρούσαμε π.χ. το τετράπλευρο ABCD εγγράψιμο;


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο-ελάχιστο άθροισμα γωνιών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 04, 2020 10:37 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 9:09 pm
Θα ήθελα να πώ ότι το πρόβλημα αυτό έχει πάρα πολλές παραμέτρους και ως εκ τούτου δεν είναι δυνατό να απαντηθεί με γενική των πραγμάτων μέθοδο. Αν π.χ. τα σημεία A,B είαι σταθερά με απόσταση |AB| να τείνει στο μηδέν τα σημεία B,C επίσης μεταξύ τους έχουν απόσταση "περίπου" μηδέν με αντίστοιχες αποστάσεις από τα σημεία A,B πολύ μεγάλες, τότε, έχουμε τάση του αθροίσματος στο 2\pi.
Θα ήθελα επίσης να αναφερθώ στην πρώτη διευκρίνηση του Σταύρου. Το σημείο P που δίνει το ελάχιστο άθροισμα είναι εκείνο που είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα D,C και εφάπτεται της AB (Απολλώνιος κατασκευή) και εφόσον το σημείο αυτό είναι σημείο του κλειστού ευθύγραμμου τμήματος AB. Άλλως και κατ' αρχάς το μέγιστο θα πρέπει να αναζητηθεί σε μία από τις κορυφές. Για το ελάχιστο άθροισμα δεν συζητώ αφού αρκεί να βρούμε το μέγιστο του αθροίσματος των άλλων δύο από τις τέσσερις γωνίες με κορυφή το P.
Τι θα λέγαμε αν θεωρούσαμε π.χ. το τετράπλευρο ABCD εγγράψιμο;
Γεια σου Σωτήρη.
Από ότι βλέπω είσαι σε καλό δρόμο.
Ετσι όπως είναι το πρόβλημα λύνεται.
Δεν ζητάω τις τιμές του μεγίστου και ελαχίστου άλλα τα σημεία στα οποία
πιάνεται.
Και οι περιπτώσεις δεν είναι πολλές.
Μετριούνται στα δάκτυλα ενός χεριού.
Αν θες υπέθεσε ότι είναι εγγράψιμο.
Παρατήρησε τέλος ότι ο φάκελλος είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης