Ολα στην ευθεία

Συντονιστής: matha

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ολα στην ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 20, 2019 5:22 pm

Εστω Ευκλείδιος χώρος X
(δηλαδή διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο πάνω στο \mathbb{R})

Για το a\in X,a\neq 0

και τα x,y\in X
έχουμε

\left \| x \right \|+\left \| y \right \|=\left \| x+a \right \|+\left \| y+a \right \|=\left \| x-a \right \|+\left \| y-a \right \|

Να αποδειχθεί ότι x=ka,y=-ra,

η ανάποδα ,όπου r,k\in \mathbb{R},k,r\geq 1



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολα στην ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 21, 2019 12:49 pm

Διορθώθηκε η εκφώνηση.
Ζητώ συγνώμη από αυτούς που πιθανόν ασχολήθηκαν.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ολα στην ευθεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm

Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα x, y, a παράγουν ένα υπόχωρο V του X το πολύ διάστασης 3 ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον \mathbb{R}^3, τον \mathbb{R}^2 ή και τον \mathbb{R}.
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα x, y, a να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο V είναι ισομετρικός με τον \mathbb{R}^3 και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον \mathbb{R}^3 με \vec{x}, \vec{y}, \vec{a} που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
linear.png (24.14 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1).
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των \vec{y}, \vec{a} γύρω από την ευθεία του \vec{a} μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των \vec{x}, \vec{a} καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
linear1.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές
όπου ισχύει πάλι η (1). Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη SQT έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων SPT, SRT ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα SPT, SRT ανήκει το Q. Επομένως αποκλείεται dimV=3.
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης 2. Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και x=pa, y=qa. Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
\left| p\right| +\left| q\right| =\left| 1+p\right| +\left| 1+q\right| =\left| 1-p\right| +\left| 1-q\right|
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολα στην ευθεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:47 pm

Την ίδια απόδειξη είχα και εγώ.
Βέβαια επειδή στην ουσία το πρόβλημα είναι στο επίπεδο υπάρχει και η απόδειξη
του Μιχάλη στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 20&t=64853

Σε χώρους με νόρμα δεν ισχύει.

Αν πάρουμε τον

\mathbb{R}^{2},\left \| . \right \|_{\infty }
και

x=(2,0),y=(2,1),a=(0,1)

εύκολα βλέπουμε ότι δεν ισχύει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολα στην ευθεία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:01 am

nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα x, y, a παράγουν ένα υπόχωρο V του X το πολύ διάστασης 3 ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον \mathbb{R}^3, τον \mathbb{R}^2 ή και τον \mathbb{R}.
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα x, y, a να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο V είναι ισομετρικός με τον \mathbb{R}^3 και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον \mathbb{R}^3 με \vec{x}, \vec{y}, \vec{a} που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1).
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των \vec{y}, \vec{a} γύρω από την ευθεία του \vec{a} μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των \vec{x}, \vec{a} καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η (1). Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη SQT έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων SPT, SRT ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα SPT, SRT ανήκει το Q. Επομένως αποκλείεται dimV=3.
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης 2. Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και x=pa, y=qa. Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
\left| p\right| +\left| q\right| =\left| 1+p\right| +\left| 1+q\right| =\left| 1-p\right| +\left| 1-q\right|
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Υπάρχει ένα προβληματάκι .
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα S,T να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η PR.
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του Tως προς την PR και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ολα στην ευθεία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:39 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:01 am
nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα x, y, a παράγουν ένα υπόχωρο V του X το πολύ διάστασης 3 ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον \mathbb{R}^3, τον \mathbb{R}^2 ή και τον \mathbb{R}.
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα x, y, a να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο V είναι ισομετρικός με τον \mathbb{R}^3 και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον \mathbb{R}^3 με \vec{x}, \vec{y}, \vec{a} που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1).
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των \vec{y}, \vec{a} γύρω από την ευθεία του \vec{a} μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των \vec{x}, \vec{a} καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η (1). Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη SQT έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων SPT, SRT ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα SPT, SRT ανήκει το Q. Επομένως αποκλείεται dimV=3.
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης 2. Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και x=pa, y=qa. Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
\left| p\right| +\left| q\right| =\left| 1+p\right| +\left| 1+q\right| =\left| 1-p\right| +\left| 1-q\right|
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Υπάρχει ένα προβληματάκι .
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα S,T να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η PR.
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του Tως προς την PR και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.
Υπάρχουν δύο δυνατές περιστροφές του ημιεπιπέδου των PRT ώστε να βρεθεί στο επίπεδο των PRS, Η μία ταυτίζει το ημιεπίπεδο των PRT με το ημιεπίπεδο των PRS η άλλη με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των PRS, Επιλέγουμε την δεύτερη. Το δεύτερο σχήμα αφορά αυτή την περίπτωση. Υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολα στην ευθεία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:47 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:39 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:01 am
nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα x, y, a παράγουν ένα υπόχωρο V του X το πολύ διάστασης 3 ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον \mathbb{R}^3, τον \mathbb{R}^2 ή και τον \mathbb{R}.
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα x, y, a να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο V είναι ισομετρικός με τον \mathbb{R}^3 και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον \mathbb{R}^3 με \vec{x}, \vec{y}, \vec{a} που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1).
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των \vec{y}, \vec{a} γύρω από την ευθεία του \vec{a} μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των \vec{x}, \vec{a} καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η (1). Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη SQT έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων SPT, SRT ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα SPT, SRT ανήκει το Q. Επομένως αποκλείεται dimV=3.
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης 2. Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και x=pa, y=qa. Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
\left| p\right| +\left| q\right| =\left| 1+p\right| +\left| 1+q\right| =\left| 1-p\right| +\left| 1-q\right|
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Υπάρχει ένα προβληματάκι .
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα S,T να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η PR.
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του Tως προς την PR και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.
Υπάρχουν δύο δυνατές περιστροφές του ημιεπιπέδου των PRT ώστε να βρεθεί στο επίπεδο των PRS, Η μία ταυτίζει το ημιεπίπεδο των PRT με το ημιεπίπεδο των PRS η άλλη με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των PRS, Επιλέγουμε την δεύτερη. Το δεύτερο σχήμα αφορά αυτή την περίπτωση. Υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;
Γεια σου Νίκο.
Αν ξεκινήσουμε από τον \mathbb{R}^3 τότε πάντα μπορούμε να πάμε στο σχήμα
που έχεις.
Αν όμως είμαστε στον \mathbb{R}^2 τότε μπορεί τα σημεία να είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο.
Για αυτό τον λόγο το έγραψα.
Βέβαια πάλι μπορούμε να στρίψουμε και να πάμε στο σχήμα σου.
Στην ουσία να κάνουμε συμμετρία.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ολα στην ευθεία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Ιούλ 27, 2019 11:05 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:47 pm
Αν όμως είμαστε στον \mathbb{R}^2 τότε μπορεί τα σημεία να είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο.
Για αυτό τον λόγο το έγραψα.
Βέβαια πάλι μπορούμε να στρίψουμε και να πάμε στο σχήμα σου.
Στην ουσία να κάνουμε συμμετρία.
Σταύρο τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Μιλάς για την περίπτωση που δεν ανέπτυξα:
nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
..
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης 2.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης