Όγκος ίδιος με τις προβολές

#1

Δίνονται τρία διανύσματα u_1,u_2,u_3

στον $\mathbb{R}^3$ . Μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο $K \subset \mathbb{R}^3$ (πιθανόν κυρτό) ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα ταυτόχρονα;

(1) $|P_{u_1^\perp}K|=|P_{u_2^\perp}K|=|P_{u_3^\perp}K|=1$

(2) $|P_{span(u_1,u_2)^\perp}K|=|P_{span(u_1,u_3)^\perp}K|=|P_{span(u_2,u_3)^\perp}K|=1$

(3) |K|=1

#2

Επαναφορά!

#3

Χωρίς βλάβη της γενικότητας τα $\mathbf{u}_i$ είναι μοναδιαία. Θεωρώ όλα τα $\mathbf{v}$ ώστε $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}_i \in [0,1]$ και παίρνω το

να είναι το σύνολο αυτών των $\mathbf{v}$ .

Οι (1),(2) ικανοποιούνται, αλλά αντί της (3) έχουμε $|K| = \frac{1}{|\det(A)|}$ όπου $A = (\mathbf{u}_1|\mathbf{u}_2|\mathbf{u}_3)$ . Πράγματι αυτό είναι συνέπεια της παρατήρησης ότι $\mathbf{v} \in K$ αν και μόνο αν $\mathbf{v}^T A \in [0,1]^3$ .

Όμως $|\det(A)| = |\mathbf{u}_1 \cdot (\mathbf{u_2} \times \mathbf{u}_3)| \leqslant 1$ . Άρα $|K| \geqslant 1$ .

Παίρνω τώρα ένα υποσύνολο

του

ώστε

. Τώρα μπορεί να χάλασα τις (1) και (2). Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Μπορώ να προσθέσω ένα σύνολο μηδενικού όγκου ώστε όλες οι προβολές να γίνουν ξανά ίσες με 1.

[Το πιο πάνω νομίζω δουλεύει ακόμη και αν τα $\mathbf{u}_i$ δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουμε αρχικά $|K| = \infty$ αλλά αυτό δεν διαφοροποιεί το επιχείρημα. Απλά θέλουμε τα διανύσματα να μην είναι μηδενικά ώστε να έχουν νόημα οι προβολές.]

Όγκος ίδιος με τις προβολές

Όγκος ίδιος με τις προβολές

Re: Όγκος ίδιος με τις προβολές

Re: Όγκος ίδιος με τις προβολές

Μέλη σε σύνδεση