Όγκος ίδιος με τις προβολές

Συντονιστής: matha

silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1215
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Όγκος ίδιος με τις προβολές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Μαρ 07, 2019 2:35 am

Δίνονται τρία διανύσματα u_1,u_2,u_3 στον \mathbb{R}^3. Μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο K \subset \mathbb{R}^3 (πιθανόν κυρτό) ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα ταυτόχρονα;

(1) |P_{u_1^\perp}K|=|P_{u_2^\perp}K|=|P_{u_3^\perp}K|=1

(2) |P_{span(u_1,u_2)^\perp}K|=|P_{span(u_1,u_3)^\perp}K|=|P_{span(u_2,u_3)^\perp}K|=1

(3) |K|=1


Σιλουανός Μπραζιτίκος

Λέξεις Κλειδιά:
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1215
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Όγκος ίδιος με τις προβολές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Απρ 01, 2019 10:42 pm

Επαναφορά!


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8083
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όγκος ίδιος με τις προβολές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 02, 2019 2:42 pm

Χωρίς βλάβη της γενικότητας τα \mathbf{u}_i είναι μοναδιαία. Θεωρώ όλα τα \mathbf{v} ώστε \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}_i \in [0,1] και παίρνω το K να είναι το σύνολο αυτών των \mathbf{v}.

Οι (1),(2) ικανοποιούνται, αλλά αντί της (3) έχουμε |K| = \frac{1}{|\det(A)|} όπου A = (\mathbf{u}_1|\mathbf{u}_2|\mathbf{u}_3). Πράγματι αυτό είναι συνέπεια της παρατήρησης ότι \mathbf{v} \in K αν και μόνο αν \mathbf{v}^T A \in [0,1]^3.

Όμως |\det(A)| = |\mathbf{u}_1 \cdot (\mathbf{u_2} \times \mathbf{u}_3)| \leqslant 1. Άρα |K| \geqslant 1.

Παίρνω τώρα ένα υποσύνολο K' του K ώστε |K'| = 1. Τώρα μπορεί να χάλασα τις (1) και (2). Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Μπορώ να προσθέσω ένα σύνολο μηδενικού όγκου ώστε όλες οι προβολές να γίνουν ξανά ίσες με 1.

[Το πιο πάνω νομίζω δουλεύει ακόμη και αν τα \mathbf{u}_i δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουμε αρχικά |K| = \infty αλλά αυτό δεν διαφοροποιεί το επιχείρημα. Απλά θέλουμε τα διανύσματα να μην είναι μηδενικά ώστε να έχουν νόημα οι προβολές.]


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης