Εύρεση Φυσικών

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Εύρεση Φυσικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Τετ Ιουν 30, 2010 12:59 pm

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί x, y οι οποίοι επαληθεύουν την σχέση: x!+14=y^{4}


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 280
Εγγραφή: Σάβ Απρ 03, 2010 5:06 pm
Τοποθεσία: Αμαλιάδα - Ηλείας

Re: Εύρεση Φυσικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Τετ Ιουν 30, 2010 1:11 pm

καλημερα στον Κώστα σε ολα τα μέλη του :logo: .
Με μια γρήγορη διερευνηση κατέληξα στο x=2 , y =2 και μόνο.
...............ειδικότερα.............
[ Για x > 4 το x! + 14 έχει ώς τελευταίο του ψηφίο το 4 το οποίο δεν είναι τελευταίο ψηφίο καμίας τέταρτης δύναμης φυσικού . Άρα x = 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 .Και από αυτές μόνο το 2 είναι δεκτό.]


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6109
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εύρεση Φυσικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Ιουν 30, 2010 1:25 pm

Το δεύτερο μέλος είναι δύναμη του 4 άρα το τελευταίο ψηφίο του θα είναι 0,1,5,6. Όμως αν x\geq 5 το x! λήγει σε μηδέν, άρα το \displaystyle{x! +14} σε 4. Αποκλείεται, λοιπόν, να είναι x\geq 5. Ελέγχουμε τώρα τις τιμές x=0,1,2,3,4 και βλέπουμε πως η μόνη δυνατή περίπτωση είναι \displaystyle{(x,y)=(2,2).}


Μάγκος Θάνος
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση Φυσικών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Τετ Ιουν 30, 2010 2:04 pm

Θαυμάσια, σας ευχαριστώ για την ενασχόληση. Την εμπνεύστηκα διαβάζοντας μια πολύ ωραία άσκηση που έχει ο κ. Στεργίου στο βιβλίο του "Ολυμπιάδες Μαθηματικών-Β Γυμνασίου": βρείτε τους φυσικούς x, y ώστε x!+12=y^{2}, Ρουμανία - 2000.


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
gberdmath
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 02, 2018 3:00 pm

Re: Εύρεση Φυσικών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gberdmath » Πέμ Δεκ 06, 2018 10:00 pm

Εύκολα λαμβάνουμε ότι \chi \neq 5 γιατί το \chi! θα λήγει σε μηδέν. Άρα παίρνουμε τις δυνάτες τιμές του \chi και ικανοποιούν την δοθείσα εξίσωση. Έτσι έχουμε \chi = 0,1,2,3,4 απο τις οποίες λαμβάνουμε μόνο την περίπτωση \chi = 2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης