Πρώτος και διαιρετότητα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Πρώτος και διαιρετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Σεπ 29, 2016 7:59 pm

Έστω ο θετικός ακέραιος n και ο (θετικός) πρώτος p ο οποίος δεν διαιρεί τον αριθμό (3n)! αλλά διαιρεί τον αριθμό (3n + 1)! + (3n + 2)!.
Να δείξετε ότι 3 \mid p - 1.


Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
διαιρετότητα
πρώτος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:07 pm

socrates έγραψε:Έστω ο θετικός ακέραιος n και ο (θετικός) πρώτος p ο οποίος δεν διαιρεί τον αριθμό (3n)! αλλά διαιρεί τον αριθμό (3n + 1)! + (3n + 2)!.
Να δείξετε ότι 3 \mid p - 1.
Είναι (3n + 1)! + (3n + 2)! = (3n+1)!(3n+2+1) = (3n+1)!(3n+3). Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!. Όμως (3n+1)! = (3n)!(3n+1) και από την εκφώνηση (αφού p δεν διαιρεί (3n)!) πρέπει p|(3n+1). Επομένως, αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1)έπεται πως έχει την μορφή (3k+1). Επομένως, είναι p-1 = 3k, και το ζητούμενο έπεται.


Bye :')
Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3600
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:23 pm

Επομένως, αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1)έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)

Για ξανακοίταξε το αυτό.Βρες γιατί δεν ισχύει.
Μετά αν κοιτάξεις πιο προσεκτικά την απόδειξη σου θα λύσεις την άσκηση.


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:27 pm

JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:49 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...
Για το πρώτη παρατήρηση έχετε προφανέστατα δίκιο. Θα επανέλθω αύριο με λύση. Για την δεύτερη:
Ο p δεν μπορείνα είναι 3, αφού ο p δεν διαιρεί το (3n)!, που έχει για κάθε τιμή του n πολλαπλάσια του 3. Επιπλέον, είναι (3n+3)=3(n+1) και άρα ο p προκύπτει ότι διαιρεί το (3n+1)(n+1), όμως αφού (n+1) < 3n και αφού το p δεν διαιρεί το (3n)!, πρέπει p|(3n+1) . Επανέρχομαι αύριο.(Στο παράδειγμα σας είναι p|(3n)!, που αντικρούει την εκφώνηση, μάλλον το κάνατε σκόπιμα για να με ωθήσετε στην λύση. Πήρα μια ιδέα.).


Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:56 pm

JimNt. έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...
Για το πρώτη παρατήρηση έχετε προφανέστατα δίκιο. Θα επανέλθω αύριο με λύση. Για την δεύτερη:
Ο p δεν μπορείνα είναι 3, αφού ο p δεν διαιρεί το (3n)!, που έχει για κάθε τιμή του n πολλαπλάσια του 3. Επιπλέον, είναι (3n+3)=3(n+1) και άρα ο p προκύπτει ότι διαιρεί το (3n+1)(n+1), όμως αφού (n+1) < 3n και αφού το p δεν διαιρεί το (3n)!, πρέπει p|(3n+1) . Επανέρχομαι αύριο.(Στο παράδειγμα σας είναι p|(3n)!, που αντικρούει την εκφώνηση, μάλλον το κάνατε σκόπιμα για να με ωθήσετε στην λύση. Πήρα μια ιδέα.).
Επιπλέον, αν και αργά, κατάλαβα ότι οι παράμετροι τις εκφώνησης δεν ισχύουν για όλες τις τιμές του n. Είναι p = 3n+1. Για n=4,6,10,12,14,16,20.... Δεν το τεκμηρίωσα σωστά. Αρκεί η δικαιολόγηηση του Ορέστη. :oops:
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Παρ Σεπ 30, 2016 12:07 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1835
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:58 pm

Καλησπέρα!
Όπως και ο Jim.Nt, p/3n+1.
Ισχύει ότι p δεν διαιρεί το (3n)!, οπότε p >3n (αν p \leq 3n, τότε ο p θα περιλαμβάνεται στους παράγοντες του (3n)!, άτοπο).
Ακόμη, p/3n+1 \Leftrightarrow p \leq 3n+1, και σε συνδυασμό με την p>3n, έχουμε p=3n+1,δηλαδή p-1=3n, από όπου το ζητούμενο είναι άμεσο.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Σεπ 30, 2016 12:04 am

JimNt. έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...
Για το πρώτη παρατήρηση έχετε προφανέστατα δίκιο. Θα επανέλθω αύριο με λύση. Για την δεύτερη:
Ο p δεν μπορείνα είναι 3, αφού ο p δεν διαιρεί το (3n)!, που έχει για κάθε τιμή του n πολλαπλάσια του 3. Επιπλέον, είναι (3n+3)=3(n+1) και άρα ο p προκύπτει ότι διαιρεί το (3n+1)(n+1), όμως αφού (n+1) < 3n και αφού το p δεν διαιρεί το (3n)!, πρέπει p|(3n+1) . Επανέρχομαι αύριο.(Στο παράδειγμα σας είναι p|(3n)!, που αντικρούει την εκφώνηση, μάλλον το κάνατε σκόπιμα για να με ωθήσετε στην λύση. Πήρα μια ιδέα.).
Επιπλέον, αν και αργά, κατάλαβα ότι οι παράμετροι τις εκφώνησης δεν ισχύουν για όλες τις τιμές του n. Είναι p = 3n+1. Για n=4,6,10,12,14,16,20.... Δεν το τεκμηρίωσα σωστά. Αρκεί η δικαιολόγηηση του Ορέστη. :oops:


Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Σεπ 30, 2016 12:06 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Καλησπέρα!
Όπως και ο Jim.Nt, p/3n+1.
Ισχύει ότι p δεν διαιρεί το (3n)!, οπότε p >3n (αν p \leq 3n, τότε ο p θα περιλαμβάνεται στους παράγοντες του (3n)!, άτοπο).
Ακόμη, p/3n+1 \Leftrightarrow p \leq 3n+1, και σε συνδυασμό με την p>3n, έχουμε p=3n+1,δηλαδή p-1=3n, από όπου το ζητούμενο είναι άμεσο.
Πάρε n = 8. ;)


Bye :')
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες