Εύκολη Διοφαντική
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Εύκολη Διοφαντική
JimNt. έγραψε:Να βρείτε τις ακεραιες λύσεις της εξίσωσης
Επαναφορά, αν και δεν μου φαίνεται τόσο για junior...
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εύκολη Διοφαντική
Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Re: Εύκολη Διοφαντική
Εγω την έλυσα με modulo στο δεύτερο μέλος.Αρχιμήδης 6 έγραψε:Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...
Bye :')
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εύκολη Διοφαντική
Βάλε την λύση σου αν θες.Θα δώσω και την δική μου.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Re: Εύκολη Διοφαντική
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για το αριστερό μέλος.
άτοπο (αφού .
, άτοπο (αφού
, που ισχύει. Συνεπώς, η αρχική μπορεί να γραφτεί:
, όπου . Για , παίρνουμε , που δίνει το ζεύγος
Θα αποδείξω ότι είναι η μοναδική λύση:
Από FLT . Αφού όμως είναιέπεται ότιή. (Και έτσι προκύπτει το ζεύγος που ήδη βρήκαμε). (Βασικά το τελευταίο είναι λάθος .Δεν μπορώ να αποδείξω πως είναι η μοναδική.)
άτοπο (αφού .
, άτοπο (αφού
, που ισχύει. Συνεπώς, η αρχική μπορεί να γραφτεί:
, όπου . Για , παίρνουμε , που δίνει το ζεύγος
Θα αποδείξω ότι είναι η μοναδική λύση:
Από FLT . Αφού όμως είναιέπεται ότιή. (Και έτσι προκύπτει το ζεύγος που ήδη βρήκαμε). (Βασικά το τελευταίο είναι λάθος .Δεν μπορώ να αποδείξω πως είναι η μοναδική.)
Bye :')
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εύκολη Διοφαντική
Καλή προσπάθεια Δημήτρη αλλά δεν θα μας ξεφύγει η εξίσωση...
Θα δώσω την λύση μου με διοφαντική ανάλυση.Στο τελευταίο βήμα μου θα θεωρήσω γνωστώ τις λύσεις της κυβικής εξίσωσης του Fermat.(από κινητό).
Ουσιαστικά είναι η μια περίπτωση της δηλαδή για
Θα υπάρχουν ώστε
,
(Αυτό γιατί η μέγιστη δύναμη του πού διαιρεί την είναι και είναι περιττός αριθμός.)
Μετά από αντικατάσταση του τελικά θα έχω
οπότε ας θέσω
άρα η τελευταία θα γίνει
οπότε εύκολα βλέπω ότι η αρχική εξίσωση έχει μόνο τετριμμένες λύσεις...
Θα δώσω την λύση μου με διοφαντική ανάλυση.Στο τελευταίο βήμα μου θα θεωρήσω γνωστώ τις λύσεις της κυβικής εξίσωσης του Fermat.(από κινητό).
Ουσιαστικά είναι η μια περίπτωση της δηλαδή για
Θα υπάρχουν ώστε
,
(Αυτό γιατί η μέγιστη δύναμη του πού διαιρεί την είναι και είναι περιττός αριθμός.)
Μετά από αντικατάσταση του τελικά θα έχω
οπότε ας θέσω
άρα η τελευταία θα γίνει
οπότε εύκολα βλέπω ότι η αρχική εξίσωση έχει μόνο τετριμμένες λύσεις...
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εύκολη Διοφαντική
Όταν υπάρχει τουλάχιστον μία αλλά πεπερασμένος αριθμός λύσεων τότε συνήθως δεν μπορούμε να λύσουμε την διοφαντική χρησιμοποιώντας μόνο (πεπερασμένο πλήθος από) modulo.JimNt. έγραψε:Εγω την έλυσα με modulo στο δεύτερο μέλος.Αρχιμήδης 6 έγραψε:Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...
Αν π.χ. στο συγκεκριμένο πρόβλημα δουλέψουμε modulo 3 και modulo 4 τότε σίγουρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την περίπτωση (αφού η είναι λύση) και άρα τα πρέπει να τα απορρίψουμε με άλλο τρόπο.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εύκολη Διοφαντική
Πολύ ωραία.
Να πάμε λίγο πίσω στην εξίσωση.
Όπως είπα η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμα η άρα είναι ειδική περίπτωση της (2) για
Η εξίσωση με λίγο παραπάνω προσοχή είναι ειδική περίπτωση της (3)
Πράγματι από την (2) θα υπάρχει ώστε
(4)
(5)
Πράγματι αν αφαιρέσω θα έχω τις (4),(5) θα έχω την (2) . H (2) είναι ισοδύναμη με το σύστημα (4),(5)
Από (4),(5) θα ισχύει
Άρα έχω μια γενικότερη εξίσωση την
Συμπέρασμα:
Το σύνολο των λύσεων της είναι υποσύνολο του συνόλου των λύσεων της
Έσβησα το υπόλοιπο γιατί είχε ένα σφάλμα που μου ξέφυγε ...
Ήθελα να τονίσω την συγγένεια των εξισώσεων .
Να πάμε λίγο πίσω στην εξίσωση.
Όπως είπα η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμα η άρα είναι ειδική περίπτωση της (2) για
Η εξίσωση με λίγο παραπάνω προσοχή είναι ειδική περίπτωση της (3)
Πράγματι από την (2) θα υπάρχει ώστε
(4)
(5)
Πράγματι αν αφαιρέσω θα έχω τις (4),(5) θα έχω την (2) . H (2) είναι ισοδύναμη με το σύστημα (4),(5)
Από (4),(5) θα ισχύει
Άρα έχω μια γενικότερη εξίσωση την
Συμπέρασμα:
Το σύνολο των λύσεων της είναι υποσύνολο του συνόλου των λύσεων της
Έσβησα το υπόλοιπο γιατί είχε ένα σφάλμα που μου ξέφυγε ...
Ήθελα να τονίσω την συγγένεια των εξισώσεων .
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες