Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

#1

Αν

μήκη πλευρών τριγώνου, να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{ab + 1}{a^2 + ca + 1}+\frac{bc + 1}{b^2 + ab + 1}+\frac{ca + 1}{c^2 + bc + 1}>\frac{3}{2}.}$

#2

Αφαιρώντας ένα από καθένα κλάσμα έχουμε να αποδείξουμε ότι
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a(a+c-b)}{a^2+ac+1}<\frac{3}{2}$

Όμως a^2+ac+1>a^2+ac=a(a+c)

και επειδή a+c-b>0

θα έχουμε ότι
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a(a+c-b)}{a^2+ac+1}<\sum_{cyc}\frac{a+c-b}{a+c}=3-\sum_{cyc}\frac{b}{a+c}\leq\frac{3}{2}$

όπου στο τελευταίο βήμα έγινε χρήση της ανισότητας Nesbitt.

#3

Αλλιώς:

Χρησιμοποιώντας την $\displaystyle{\frac{x+1}{y+1}>\frac{x}{y},}$ για y>x,

και την ανισότητα Nesbit έχουμε

$\displaystyle{\frac{ab + 1}{a^2 + ca + 1}+\frac{bc + 1}{b^2 + ab + 1}+\frac{ca + 1}{c^2 + bc + 1}>\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}+\frac{a}{c+b} \geq\frac{3}{2}.}$

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση