Ανισότητα

#1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a^3 + b^3 + c^3 = a^4 + b^4 + c^4.

Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^4 + c^4}+\frac{b}{a^4 + b^2 + c^4}+\frac{c}{a^4 + b^4 + c^2}\geq 1.}$

Ορέστης Λιγνός · #2

socrates έγραψε:Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^4 + c^4}+\frac{b}{a^4 + b^2 + c^4}+\frac{c}{a^4 + b^4 + c^2}\geq 1.}$

Επαναφορά!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2015 12:05 am
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^4 + c^4}+\frac{b}{a^4 + b^2 + c^4}+\frac{c}{a^4 + b^4 + c^2}\geq 1.}$

Πολύ καλό

Από $\rm B-C-S$ είναι
$\displaystyle {\rm \left ( \sum a^2 \right )\left ( \sum a^3 \right )=\left (\sum a^2 \right )\left ( \sum a^4 \right )\geq \left ( \sum a^3 \right )^2\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum a^3}$ .Άρα
$\displaystyle{\rm \sum a^3\sum a^2\leq \left ( \sum a^2 \right )^2\overset{B-C-S}{\leq} \sum a\sum a^3\Leftrightarrow \sum a\geq \sum a^2}$ .
Τα από κάτω δεν χρειάζονται..δείτε την συνέχεια σε επόμενο ποστ
Είναι
$\displaystyle {\rm \sum a\geq \sum a^2\Leftrightarrow 3\sum a\geq \sum a^2+2\sum a^4\Leftrightarrow 9\sum a\geq 3\left ( \sum a^2+2\sum a^4 \right )}$
$\displaystyle {\rm \Leftrightarrow \dfrac{3}{\displaystyle\sum a}\leq \dfrac{9}{\displaystyle\sum a^2+\sum (b^4+c^4)}\overset{(*)}{\leq }\sum \dfrac{1}{a^2+b^4+c^4}\Leftrightarrow \sum \dfrac{1}{a^2+b^4+c^4}\sum a\geq 3}$ .
Η (*)

προκύπτει από την $\displaystyle{\rm \sum a\sum \dfrac{1}{a}\geq 9}$ .
Επειδή οι $\rm (a,b,c),(\dfrac{1}{a^2+b^4+c^4},\dfrac{1}{b^2+a^4+c^4},\dfrac{1}{c^2+b^4+a^4})$ είναι όμοια διατεταγμένες από $\rm Chebicheff$ θα έχουμε
$\displaystyle{\rm 3\leq \sum a\sum \dfrac{1}{a^2+b^4+c^4}\leq 3\sum \dfrac{a}{a^2+b^4+c^4}\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{a^2+b^4+c^4}\geq 1}$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 7:06 pm

socrates έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2015 12:05 am
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^4 + c^4}+\frac{b}{a^4 + b^2 + c^4}+\frac{c}{a^4 + b^4 + c^2}\geq 1.}$
...

Επειδή οι $\rm (a,b,c),(\dfrac{1}{a^2+b^4+c^4},\dfrac{1}{b^2+a^4+c^4},\dfrac{1}{c^2+b^4+a^4})$ είναι όμοια διατεταγμένες

Δε βλέπω γιατί ισχύει αυτό...

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 12:03 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 7:06 pm

socrates έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2015 12:05 am
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^4 + c^4}+\frac{b}{a^4 + b^2 + c^4}+\frac{c}{a^4 + b^4 + c^2}\geq 1.}$
...

Επειδή οι $\rm (a,b,c),(\dfrac{1}{a^2+b^4+c^4},\dfrac{1}{b^2+a^4+c^4},\dfrac{1}{c^2+b^4+a^4})$ είναι όμοια διατεταγμένες

Δε βλέπω γιατί ισχύει αυτό...

Πράγματι δεν ισχύει γενικά

Συνεχίσω από εκεί που έδειξα πως $\displaystyle{\rm \sum a\geq \sum a^2}$ ,τα από κάτω μετά δεν χρειάζονται.
Η αρχική γράφεται $\displaystyle {\rm \sum \dfrac{a^2}{a^3+a\left ( b^4+c^4 \right )}\geq 1}$ .
Από $\rm Andreesqu$ αρκεί $\rm \displaystyle {\rm \left ( \sum a \right )^2\geq \sum a^3+\sum a(b^4+c^4)=\sum a^3+\sum a\left ( \sum a^3-a^4 \right )=}$
$\displaystyle {\rm =\sum a^3+\sum a\sum a^3-\sum a^5}$ .
Από $\rm B-C-S$ είναι $\displaystyle {\rm \sum a^3\sum a^5\geq \left ( \sum a^3 \right )^2\Leftrightarrow \sum a^5\geq \sum a^3 }$ .
Άρα αρκεί $\displaystyle {\rm \left (\sum a \right )^2\geq \sum a\sum a^3\Leftrightarrow \sum a\geq \sum a^3}$ το οποίο ισχύει αφού $\displaystyle {\rm \sum a\geq \sum a^2\geq \sum a^3}$

Ελπίζω τώρα να είναι εντάξει

#6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 1:03 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 12:03 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 7:06 pm

socrates έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2015 12:05 am
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^4 + c^4}+\frac{b}{a^4 + b^2 + c^4}+\frac{c}{a^4 + b^4 + c^2}\geq 1.}$
...

Επειδή οι $\rm (a,b,c),(\dfrac{1}{a^2+b^4+c^4},\dfrac{1}{b^2+a^4+c^4},\dfrac{1}{c^2+b^4+a^4})$ είναι όμοια διατεταγμένες

Δε βλέπω γιατί ισχύει αυτό...
Πράγματι δεν ισχύει γενικά

Συνεχίσω από εκεί που έδειξα πως $\displaystyle{\rm \sum a\geq \sum a^2}$ ,τα από κάτω μετά δεν χρειάζονται.
Η αρχική γράφεται $\displaystyle {\rm \sum \dfrac{a^2}{a^3+a\left ( b^4+c^4 \right )}\geq 1}$ .
Από $\rm Andreesqu$ αρκεί $\rm \displaystyle {\rm \left ( \sum a \right )^2\geq \sum a^3+\sum a(b^4+c^4)=\sum a^3+\sum a\left ( \sum a^3-a^4 \right )=}$
$\displaystyle {\rm =\sum a^3+\sum a\sum a^3-\sum a^5}$ .
Από $\rm B-C-S$ είναι $\displaystyle {\rm \sum a^3\sum a^5\geq \left ( \sum a^3 \right )^2\Leftrightarrow \sum a^5\geq \sum a^3 }$ .
Άρα αρκεί $\displaystyle {\rm \left (\sum a \right )^2\geq \sum a\sum a^3\Leftrightarrow \sum a\geq \sum a^3}$ το οποίο ισχύει αφού $\displaystyle {\rm \sum a\geq \sum a^2\geq \sum a^3}$

Ελπίζω τώρα να είναι εντάξει

Ωραία!

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση