Σελίδα 1 από 1
Ρίζες και εξίσωση(Για Αρχιμήδη !)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 16, 2009 11:00 am
από Μπάμπης Στεργίου
Να λυθεί η εξίσωση :
Ρουμανία 2006 , 1ος γύρος
Re: Ρίζες και εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 16, 2009 12:00 pm
από chris_gatos
Παρατηρώ ότι:
![\displaystyle{\displaystyle
1 + \frac{1}
{{n^2 }} + \frac{1}
{{\left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 + n^2 + \left( {n + 1} \right)^2 }}
{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{\left( {n^2 + n} \right) + 2(n^2 + n) + 1}}
{{n^2 (n + 1)^2 }} = \frac{{(n^2 + n + 1)^2 }}
{{n^2 (n + 1)^2 }} = \frac{{\left[ {n(n + 1) + 1} \right]^2 }}
{{\left[ {n(n + 1)} \right]^2 }} = \left[ {\frac{{n(n + 1) + 1}}
{{n(n + 1)}}} \right]^2 = \left[ {1 + \frac{1}
{{n(n + 1)}}} \right]^2
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/13f6385ce2db94c9ebc234dd1a929178.png "\displaystyle{\displaystyle
1 + \frac{1}
{{n^2 }} + \frac{1}
{{\left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 + n^2 + \left( {n + 1} \right)^2 }}
{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{\left( {n^2 + n} \right) + 2(n^2 + n) + 1}}
{{n^2 (n + 1)^2 }} = \frac{{(n^2 + n + 1)^2 }}
{{n^2 (n + 1)^2 }} = \frac{{\left[ {n(n + 1) + 1} \right]^2 }}
{{\left[ {n(n + 1)} \right]^2 }} = \left[ {\frac{{n(n + 1) + 1}}
{{n(n + 1)}}} \right]^2 = \left[ {1 + \frac{1}
{{n(n + 1)}}} \right]^2
}")
. Αρα εύκολα παίρνουμε :
![\displaystyle{\displaystyle
\sqrt {\left[ {1 + \frac{1}
{{n(n + 1)}}} \right]^2 } = 1 + \frac{1}
{{n(n + 1)}} = 1 + \frac{1}
{n} - \frac{1}
{{n + 1}}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d41f8a6b94c3d7914be1a4d0210e286a.png "\displaystyle{\displaystyle
\sqrt {\left[ {1 + \frac{1}
{{n(n + 1)}}} \right]^2 } = 1 + \frac{1}
{{n(n + 1)}} = 1 + \frac{1}
{n} - \frac{1}
{{n + 1}}
}")
(Το μετατρέπω σε τηλεσκοπικό.)
Αρα έχουμε :
Τα κατάφερα!
Re: Ρίζες και εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 16, 2009 12:29 pm
από cretanman
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση :
Ρουμανία 2006 , 1ος γύρος
Άλλη μία λύση λίγο πιο tricky:
Παρατηρούμε ότι
![\displaystyle 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left[-(n+1)\right]^2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d941213600927089cb5179ce25724320.png "\displaystyle 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left[-(n+1)\right]^2}")
οπότε στον παρονομαστή των τριών κλασμάτων έχουμε τα τετράγωνα τριών αριθμών που έχουν άθροισμα
.
Είναι εύκολο τώρα να δούμε ότι για
αριθμούς
με άθροισμα
, ισχύει
.
Συνεπώς η παραπάνω παράσταση γίνεται
άρα ισοδύναμα
άρα
άρα
.
Αλέξανδρος
Re: Ρίζες και εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 16, 2009 12:32 pm
από Γιώργος Ρίζος
Είναι:
=
Οπότε η εξίσωση γράφεται:
ή
Έχουμε άθροισμα ν όρων γεωμ. προόδου με α1 = 1/2, λ = 1/3 και αν = 1/2006.2007
Οπότε ... ν = 671.008
Μόλις βλέπω τις ήδη δημοσιευμένες λύσεις, οπότε καταθέτω και τούτη
στο βωμό του άσπλαχνου latex...
Ρίζος Γιώργος
Re: Ρίζες και εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 16, 2009 12:33 pm
από chris_gatos
Aλέξανδρε διαφωνούμε ως πρός το αποτέλεσμα!Αν μπορείς τσέκαρε το και πές μου να το διορθώσω...Νομίζω πως ο άσσος επαναλαμβάνεται 2005 φορές,αλλά μπορεί και να έχω άδικο!
Re: Ρίζες και εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 16, 2009 12:40 pm
από cretanman
chris_gatos έγραψε:Aλέξανδρε διαφωνούμε ως πρός το αποτέλεσμα!Αν μπορείς τσέκαρε το και πές μου να το διορθώσω...Νομίζω πως ο άσσος επαναλαμβάνεται 2005 φορές,αλλά μπορεί και να έχω άδικο!
Χρήστο νομίζω ότι θα ήταν 2005 άσσοι αν ξεκινούσαμε με την ρίζα
που όμως δεν υπάρχει.
Αλέξανδρος
Re: Ρίζες και εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 16, 2009 12:45 pm
από chris_gatos
Mea culpa διορθώνω!