Σύστημα με ακεραίους!

#1

Να λυθεί στους ακεραίους

$\displaystyle{\begin{cases}a^2=b^3+c^3, \\ a^3=b^2+c^2 \end {cases}}$

#2

Ας είναι $\left(a,b,c \right)$ είναι μια λύση του συστήματος.
$\bullet$ Αν a=0

τότε

$\bullet$ Αν $a\neq 0$ τότε $a=\dfrac{b^2+c^2}{b^3+c^3}$ και $a\left(b+c \right)=\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2-bc}.$

Συνεπώς το κλάσμα $\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2-bc}$ είναι ακέραιος και είναι εύκολο να δούμε ότι $0<\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2-bc}\leq 2.$

Αν $\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2-bc}=1$ τότε bc=0,

δηλαδή

ή

Για

είναι

και

οπότε

και έτσι

Συνεπώς $\left(a,b,c \right)=\left(1,0,1 \right).$ Ομοίως για c=0

βρίσκουμε $\left(a,b,c \right)=\left(1,1,0 \right).$

Αν $\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2-bc}=2$ τότε b=c.

Τότε

και

οπότε διαιρώντας ac=1

που δεν δίνει ακέραιες λύσεις.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

matha έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 01, 2014 2:03 pm
Να λυθεί στους ακεραίους

$\displaystyle{\begin{cases}a^2=b^3+c^3, \\ a^3=b^2+c^2 \end {cases}}$

Προφανής λύση $\rm (a,b,c)=(0,0,0)$ .Είναι $\rm a^3=b^2+c^2\geq 0\Rightarrow a\geq 0$ .
$\rm b^3+c^3=a^2\geq 0$ .Άρα δεν μπορεί και οι δύο αρνητικοί.Αν και οι δύο θετικοί τότε $\rm a^2=b^3+c^3 \geq b^2+c^2=a^3$ και $\rm a^2=b^3+c^3\geq 2$ οπότε εύκολα έχουμε άτοπο.
Έστω λοιπόν $\rm b \geq 0 \geq c$ ,θέτω $\rm c=-k,k\geq0,b>k$ και η πρώτη σχέση δίνει $\rm a^2=b^3-k^3=(b-k)(b^2+bk+k^2)=(b-k)(a^2+bk)\geq a^2$ .Έτσι λοιπόν θα πρέπει $\rm b=k+1,bk=1$ δηλαδή $\rm k=0,b=1$ .
Λύσεις λοιπόν οι $\rm (a,b,c)=(0,0,0),(1,0,1),(1,1,0)$ .

Σύστημα με ακεραίους!

Σύστημα με ακεραίους!

Re: Σύστημα με ακεραίους!

Re: Σύστημα με ακεραίους!

Μέλη σε σύνδεση