Πλήθος πολυωνύμων

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2651
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Πλήθος πολυωνύμων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιούλ 23, 2013 1:53 am

Πόσα πολυώνυμα f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, με a,b,c,d να είναι θετικοί ακέραιοι, υπάρχουν ώστε f(1)=10;

Φιλικά,

Αχιλλέας


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Πλήθος πολυωνύμων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Τρί Ιούλ 23, 2013 10:51 am

Θέλουμε να βρούμε το πλήθος των θετικών ακεραίων λύσεων της εξίσωσης \displaystyle{a+b+c+d=10}.

Προφανώς \displaystyle{a,b,c,d \in \{1,2,3,4,5,6,7\}}.

\bullet Αν έστω και ένας εκ των όρων ισούται με \displaystyle{7} τότε οι υπόλοιποι τρεις θα είναι οπωσδήποτε ίσοι με τη μονάδα κι έτσι έχουμε \displaystyle{4} τέτοια πολυώνυμα.

\bullet Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι \displaystyle{6} τότε οι άλλοι τρεις θα είναι οι \displaystyle{1,1,2}.Σύμφωνα με τον τύπο των αναγραμματισμών παίρνουμε \displaystyle{12} τέτοια πολυώνυμα.

\bullet Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι \displaystyle{5} οι πιθανοί συνδυασμοί για τους άλλους τρεις είναι \displaystyle{1,1,3} και \displaystyle{1,2,2}.Οπότε συνολικά παίρνουμε \displaystyle{24} πολυώνυμα.

\bullet Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι \displaystyle{4} έχουμε \displaystyle{3} πιθανούς συνδυασμούς.Τους \displaystyle{1,1,4,4} - \displaystyle{2,2,2,4} -\displaystyle{2,1,3,4} οι οποίοι μας δίνουν \displaystyle{34} πολυώνυμα.

\bullet Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι \displaystyle{3} υπάρχουν δύο πιθανοί συνδυασμοί,ο \displaystyle{3,3,2,2 \ - \ 3,3,3,1} που μας δίνουν \displaystyle{10} πολυώνυμα.

Τέλος δεν υπάρχει κανένα από τα ζητούμενα πολυώνυμα που να μην έχει έστω έναν συντελεστή μεγαλύτερο ή ίσο του \displaystyle{3}.

Επομένως \displaystyle{84} πολυώνυμα ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Πλήθος πολυωνύμων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 24, 2016 12:08 am

Ας γενικεύσουμε:

Πόσα πολυώνυμα f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, με a,b,c,d να είναι θετικοί ακέραιοι, υπάρχουν ώστε f(1)=n, όπου n\in \Bbb{N}^*;


Θανάσης Κοντογεώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2638
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πλήθος πολυωνύμων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 24, 2016 12:47 am

Θέλουμε το πλήθος των λύσεων της x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=n
οπουx_{1},x_{2},x_{3},x_{4} θετικοί φυσικοί.
Θέτοντας y_{i}=x_{i}-1
εχουμε οτι y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=n-4
με y_{i} φυσικοί.
Το πλήθος των λύσεων της τελευταίας είναι γνωστό και ισούται με C(n-1,n-4)
Γενικότερα το πληθος των λύσεων της x_{1}+x_{2}+x_{3}....+x_{k}=n
στους φυσικούς είναι C(n+k-1,n)
και μπορούμε να το δούμε η με επαναληπτικούς συνδιασμούς η με γεννήτριες συναρτήσεις η ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης