ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64
Προτείνω το θέμα 365 από το αρχείο του Θάνου.
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
-
- Δημοσιεύσεις: 1156
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64
Από τους τύπου , , , , και , έχουμε μετά από λίγες πράξεις την ισοδύναμη:
που ισχύει.
Η ισότητα ισχύει όταν .
που ισχύει.
Η ισότητα ισχύει όταν .
Κώστας Ζερβός
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64
Μια λίγο διαφορετική αντιμετώπιση:
Χρησιμοποιώντας τους Νόμους Ημιτόνων και Συνημιτόνων και τη σχέση το αριστερό μέλος της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι
που προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Cauchy-Schwarz:
με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Χρησιμοποιώντας τους Νόμους Ημιτόνων και Συνημιτόνων και τη σχέση το αριστερό μέλος της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι
που προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Cauchy-Schwarz:
με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64
Ευχαριστώ τόσο τον Κώστα όσο και το Βαγγέλη για τις λύσεις τους.
Η λύση που έχω υπ' όψιν είναι αυτή του Βαγγέλη.
Η λύση που έχω υπ' όψιν είναι αυτή του Βαγγέλη.
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64
Το 1ο τεύχος του Mathematical Reflections του 2021 πρότεινε την ανισότητα αυτή ως S544.
Το αρχείο του Θάνου είχε προηγηθεί αρκετά χρόνια...
Το αρχείο του Θάνου είχε προηγηθεί αρκετά χρόνια...
- Συνημμένα
-
- Καταγραφή1.PNG (42.41 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες