Πλήθος διαιρετών.
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Πλήθος διαιρετών.
Να βρεθεί το πλήθος των θετικών διαιρετών του αριθμού .
Ποιο είναι το άθροισμά τους ;
Ποιο είναι το άθροισμά τους ;
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Πέμ Ιαν 17, 2013 5:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Πλήθος διαιρετών.
Υποθέτω ότι αναφέρεσαι στους θετικούς διαιρέτες.
Είναι , οπότε ένας θετικός διαιρέτης του θα είναι της μορφής , όπου οι είναι ακέραιοι με και . Επομένως, έχουμε επιλογές για τον εκθέτη και επιλογές για τον εκθέτη , οπότε το πληθος των (θετικών) διαιρετών του είναι ίσο με .
Για να βρούμε το άθροισμα των θετικών διαιρετών του , παρατηρούμε ότι κάθε θετικός διαιρέτης του εμφανίζεται ακριβώς μία φορά στο ανάπτυγμα του γινομένου
οπότε το άθροισμα των (θετικών) διαιρετών του είναι ίσο με
Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, αποδεικνύεται ότι αν , όπου οι είναι πρώτοι αριθμοί για , τότε το πλήθος των θετικών διαιρετών του ακέραιου είναι ίσο με
και το άθροισμά τους είναι ίσο με
.
Είναι , οπότε ένας θετικός διαιρέτης του θα είναι της μορφής , όπου οι είναι ακέραιοι με και . Επομένως, έχουμε επιλογές για τον εκθέτη και επιλογές για τον εκθέτη , οπότε το πληθος των (θετικών) διαιρετών του είναι ίσο με .
Για να βρούμε το άθροισμα των θετικών διαιρετών του , παρατηρούμε ότι κάθε θετικός διαιρέτης του εμφανίζεται ακριβώς μία φορά στο ανάπτυγμα του γινομένου
οπότε το άθροισμα των (θετικών) διαιρετών του είναι ίσο με
Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, αποδεικνύεται ότι αν , όπου οι είναι πρώτοι αριθμοί για , τότε το πλήθος των θετικών διαιρετών του ακέραιου είναι ίσο με
και το άθροισμά τους είναι ίσο με
.
τελευταία επεξεργασία από emouroukos σε Πέμ Ιαν 17, 2013 5:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος διαιρετών.
Πράγματι, αναφερόμουν σε θετικούς διαιρέτες (κακώς προφανώς, γι αυτό το συμπλήρωσα). Μου αρέσει που ο τρόπος σου δίνει μία γενική μέθοδο...emouroukos έγραψε:Υποθέτω ότι αναφέρεσαι στους θετικούς διαιρέτες.
Είναι , οπότε ένας θετικός διαιρέτης του θα είναι της μορφής , όπου οι είναι ακέραιοι με και . Επομένως, έχουμε επιλογές για τον εκθέτη και επιλογές για τον εκθέτη , οπότε το πληθος των (θετικών) διαιρετών του είναι ίσο με .
Για να βρούμε το άθροισμα των θετικών διαιρετών του , παρατηρούμε ότι κάθε θετικός διαιρέτης του εμφανίζεται ακριβώς μία φορά στο ανάπτυγμα του γινομένου
οπότε το άθροισμα των (θετικών) διαιρετών του είναι ίσο με
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Πλήθος διαιρετών.
Καλησπέρα, εάν γνωρίζουμε το πλήθος διαιρετών ενός φυσικού αριθμού ,π.χ. οτι είναι ίσο με , πώς μπορούμε να βρούμε τον αριθμό αυτόν;
( Έχοντας αναλύσει έναν φυσικό αριθμό, βάσει του Θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής, σε γινόμενο θετικών ακεραίων με δυνάμεις πρώτους αριθμούς και στη συνέχεια με τη βοήθεια της πολλαπλασιαστικής αρχής, αποδεικνύουμε ότι το πλήθος διαιρετών είναι )
( Έχοντας αναλύσει έναν φυσικό αριθμό, βάσει του Θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής, σε γινόμενο θετικών ακεραίων με δυνάμεις πρώτους αριθμούς και στη συνέχεια με τη βοήθεια της πολλαπλασιαστικής αρχής, αποδεικνύουμε ότι το πλήθος διαιρετών είναι )
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πλήθος διαιρετών.
Ίσως δεν παρατήρησες ότι ο τύπος που έγραψες είναι επανάληψη αυτού που σημείωσε ο Βαγγέλης Μουρούκος παραπάνω.diadio έγραψε:Καλησπέρα, εάν γνωρίζουμε το πλήθος διαιρετών ενός φυσικού αριθμού ,π.χ. οτι είναι ίσο με , πώς μπορούμε να βρούμε τον αριθμό αυτόν;
( Έχοντας αναλύσει έναν φυσικό αριθμό, βάσει του Θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής, σε γινόμενο θετικών ακεραίων με δυνάμεις πρώτους αριθμούς και στη συνέχεια με τη βοήθεια της πολλαπλασιαστικής αρχής, αποδεικνύουμε ότι το πλήθος διαιρετών είναι )
Το ερώτημά σου έχει άμεση απάντηση από τον τύπο που (ξανα)έγραψες και την ανάλυση του ως γινόμενο παραγόντων με όλους τους δυνατούς τρόπους, που είναι οι .
Έπεται (αφήνω σε σένα την εξήγηση που είναι τώρα απλή) ότι οι αριθμοί που έχουν διαιρέτες είναι της μορφής για οποιουσδήποτε διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους , και μόνον αυτοί.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες